【JZOJ 4714】 公约数

本文介绍了一种高效算法,用于计算在给定范围内满足特定条件的无序数对数量。该条件要求两个数的最大公约数等于它们的异或运算结果。通过巧妙地转换问题并枚举关键变量,算法达到了O(nlogn)的时间复杂度。

Description

给定一个正整数,在[1,n]的范围内,求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。
对于100%的数据满足n<=10^7

Analysis

正解异常简单。
对于任意数对(a,b),不妨设a>b
首先a xor b=ca xor c=b
ab=c
gcd(a,b)=gcd(ab,b)ab
a xor bab,这个的证明很简单,二进制拆开看一看就可以发现。
你发现了什么?
gcd(a,b)ca xor b

gcd(a,b)=a xor b=c=ab
所以我们可以枚举c,因为a是其倍数,所以枚举会快很多。因为gcd(a,ac)=c,所以只需判断a xor c=ac=b即可
时间复杂度为O(n/1+n/2++n/n)=O(nlogn)

Code

225bytes

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int main()
{
    int n,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n)
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
            if((i^j)==j-i) ans++;
    printf("%d",ans);
}
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