【JZOJ 4714】公约数

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#数论

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本文介绍了一种高效算法，用于计算在给定范围内满足特定条件的无序数对数量。该条件要求两个数的最大公约数等于它们的异或运算结果。通过巧妙地转换问题并枚举关键变量，算法达到了O(nlogn)的时间复杂度。

Description

给定一个正整数，在[1,n]的范围内，求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。
对于100%的数据满足n<=10^7

Analysis

正解异常简单。
对于任意数对 $(a,b)$ ，不妨设 $a>b$ 。
首先 $a\ xor\ b=c\Rightarrow a\ xor\ c=b$
设 $a-b=c$
$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)\leq a-b$
又 $a\ xor\ b\geq a-b$ ，这个的证明很简单，二进制拆开看一看就可以发现。
你发现了什么？
$gcd(a,b)\leq c\leq a\ xor\ b$
又
$gcd(a,b)=a\ xor\ b=c=a-b$
所以我们可以枚举 $c$ ，因为 $a$ 是其倍数，所以枚举会快很多。因为 $gcd(a,a-c)=c$ ，所以只需判断 $a\ xor\ c=a-c=b$ 即可
时间复杂度为 $O(n/1+n/2+\cdots+n/n)=O(nlogn)$

Code

225bytes

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int main()
{
    int n,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n)
        for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
            if((i^j)==j-i) ans++;
    printf("%d",ans);
}