【JZOJ 4599】西行妖

最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布

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本文探讨了一个关于在有限春度下，如何使一棵有n个节点的树——西行妖尽可能多地开花的问题，并提出了一种优化后的动态规划算法。

Description

在幻想乡白玉楼有一棵终年不开花的樱树叫西行妖，西行寺幽幽子曾经为了让它开花而大量收集春度，然后被城管教训了一顿…
现在，幽幽子得到城管的允许，收集了S点春度，让西行妖重新开花。
西行妖可以被看成是一棵有n个节点的树，每个叶子节点被分配了1点春度就能开花（幽幽子不会无意义地使用她的春度，于是最多只会给同一个叶子节点分配1点春度），对于非叶子节点i，如果它有至少有1个儿子开花，那么节点i能开花。
据说，西行妖的花开满之时，幽幽子会复活。但是城管只给了S点春度(S≤20)，所以幽幽子这次是抱着娱乐的心态种树的。
如果西行妖有至少m个节点开花，那么幽幽子认为它是美丽的。现在幽幽子想知道，有多少种方案，使西行妖是美丽的（答案对10^9+7取模）。
注意：幽幽子不一定会把S点春度都分配完。

Solution

先搞一个暴力：
对于每个叶节点，有一个很显然的DP： $f_{i,j,k}$ 表示做到第i个叶节点，用了j个春度，开了k朵花，
转移：

f I, j, k = \sum i = 1 I - 1 f i, j - 1, k - d e p I + d e p L C A (i, I)

$f_{I,j,k}=\sum_{i=1}^{I-1}f_{i,j-1,k-dep_I+dep_{LCA(i,I)}}$ ；
复杂度：

O(n3S) $O(n^3S)$ ；
现在，我们来考虑优化：
设两个数组：

s j, k, d = f i', j, k

$s_{j,k,d}=f_{i',j,k}$

i′ $i'$ 表示i’与i的LCA深度为d，

c n t j, k - d = s j, k, d

$cnt_{j,k-d}=s_{j,k,d}$
这样答案就是

f i, j, k = c n t j - 1, k - d e p [i]

$f_{i,j,k}=cnt_{j-1,k-dep[i]}$
（不理解的把cnt的第二维放到树上感性的想一下）
转移就是每次做完一颗子树以后，把

sj,k,d $s_{j,k,d}$ 转移到

sj,k,d−1 $s_{j,k,d-1}$ ，并维护cnt数组，再把

sj,k,d $s_{j,k,d}$ 清零。

复杂度： $O(n^2 S)$ ；

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define efo(i,q) for(int i=A[q];i;i=B[i][0])
using namespace std;
const int N=1050,mo=1e9+7;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n,m1,ans;
int dep[N];
int B[2*N][2],A[N],B0;
int f[N][22][N],I;
int s[22][N][N],cnt[22][N];
void link(int q,int w){B[++B0][0]=A[q],A[q]=B0,B[B0][1]=w;}
void dfs(int q,int c)
{
    dep[q]=c;
    efo(i,q)dfs(B[i][1],c+1);
    if(!A[q])
    {
        I++;
        f[I][1][c]=1;
        if(c>=m)ans++;
        fo(j,2,m1)
            fo(k,dep[q],n)if(cnt[j-1][k-dep[q]])
            {
                f[I][j][k]=cnt[j-1][k-dep[q]];
                if(k>=m)ans=(ans+f[I][j][k])%mo;
            }
        fo(j,2,m1)
            fo(k,1,n)if(f[I][j][k])
            {
                s[j][k][c]=(s[j][k][c]+f[I][j][k])%mo;
                cnt[j][k-c]=(cnt[j][k-c]+f[I][j][k])%mo;
            }
        s[1][c][c]=(s[1][c][c]+f[I][1][c])%mo;
        cnt[1][0]=(cnt[1][0]+f[I][1][c])%mo;
    }
    fo(j,1,m1)
        fo(k,c,n)
        {
            s[j][k][c-1]=(s[j][k][c-1]+s[j][k][c])%mo;
            cnt[j][k-c+1]=(cnt[j][k-c+1]+s[j][k][c])%mo;
            cnt[j][k-c]=(cnt[j][k-c]-s[j][k][c]+mo)%mo;
            s[j][k][c]=0;
        }
}
int main()
{
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    int q,w;
    read(n);read(m),read(m1);
    fo(i,2,n)read(q),link(q,i);
    dfs(1,1);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}