高等数学笔记-苏德矿-第十章曲线积分和曲面积分-第三节-点函数积分-优快云博客

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本文详细介绍了高等数学中点函数积分的概念，包括定义、积分区域的要求、物理意义、积分定理与性质，以及在质心、转动惯量和引力问题中的应用实例。通过微元法和具体示例演示了如何计算不同维度下的积分，如三维空间、二维平面和一维区间。

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高等数学笔记-苏德矿

第十章曲线积分和曲面积分

第三节点函数积分

一、点函数积分的概念

01 点函数积分的定义

$\begin{aligned} & \int_{a}^{b}f(x)dx\ \ , \ \ \iint\limits_{\sigma}f(x,y)d\sigma\ \ , \ \ \iiint\limits_{V}f(x,y,z)dV\\ & \int_{\Gamma_{AB}}f(x,y)ds\ \ , \ \ \int_{\Gamma_{AB}}f(x,y,z)ds\ \ , \ \ \iint \limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS \end{aligned}$

积分区域记为 $Ω\Omega$ ，称为形体。积分记为 $∫Ωf(P)dΩ\int \limits_{\Omega}f(P)d\Omega$ ，称为点函数的积分。

01 点函数积分的积分区域

以后涉及到 $Ω\Omega$ ，

如果 $Ω\Omega$ 指的是曲线，要求分段光滑；

如果 $Ω\Omega$ 指的是曲面，要求分片光滑；

如果 $Ω\Omega$ 指的是立体，要求有界闭区域；

如果 $Ω\Omega$ 指的是 $x O y$ 平面上的区域，要求闭区域。

二、点函数积分的定理和性质

01 点函数积分的物理意义

物理意义：若 $Ω\Omega$ 的密度函数为 $μ=f(P)\mu=f(P)$ 连续，则 $Ω\Omega$ 的质量 $M=∫Ωf(P)dΩM=\int \limits_{\Omega}f(P)d\Omega$ .

02 可积的必要条件

定理：若 $f (P)$ 在有界闭形体 $Ω\Omega$ 上连续，则 $f (P)$ 在 $Ω\Omega$ 上可积。反之不成立。

03 点函数积分的性质

点函数积分具有二重积分的所有性质。
点函数的积分中值定理：
- 若 $f (P)$ 在有界闭形体 $Ω\Omega$ 上连续，则 $P∗∈Ω\exist\ P^*\in\Omega$ ，使 $∫Ωf(P)dΩ=f(P∗)⋅Ω\int \limits_{\Omega}f(P)d\Omega=f(P^*)\cdot\Omega$ .
- 等式右边的 $Ω\Omega$ 表示 $Ω\Omega$ 的大小。
利用区域 $Ω\Omega$ 的对称性，被积函数关于相应变量的奇偶性来简化计算。

三、点函数积分的分类

$Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3$
- $Ω\Omega$ 指的是空间曲线或曲面或立体
- 设 $f (x, y, z)$ 在有界闭形体 $Ω\Omega$ 上连续，且 $Ω\Omega$ 关于 $x O y$ 平面对称，
- 则 $Ω=Ω上+Ω下\Omega=\Omega_{上}+\Omega_{下}$
- $∫Ωf(x,y,z)dΩ={0f(x,y,−z)=−f(x,y,z)2∫Ω上f(x,y,z)dΩf(x,y,−z)=f(x,y,z)\int \limits_{\Omega}f(x,y,z)d\Omega= \begin{cases}0 & f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\\ 2\int \limits_{\Omega_{上}}f(x,y,z)d\Omega & f(x,y,-z)=f(x,y,z)\end{cases}$
$Ω∈R2\Omega\in\mathrm{R}^2$
- $Ω\Omega$ 指的是平面曲线或平面区域
- 设 $f (x, y)$ 在有界闭形体 $Ω\Omega$ 上连续，且 $Ω\Omega$ 关于 $x$ 轴对称，
- $∫Ωf(x,y)dΩ={0f(x,−y)=−f(x,y)2∫Ω上f(x,y,z)dΩf(x,−y)=f(x,y)\int \limits_{\Omega}f(x,y)d\Omega= \begin{cases}0 & f(x,-y)=-f(x,y)\\ 2\int \limits_{\Omega_{上}}f(x,y,z)d\Omega & f(x,-y)=f(x,y)\end{cases}$

四、点函数积分的微元法

求分布在有界闭形体 $Ω\Omega$ 上的一个量 $Q$ 的值仍用 $Q$ 表示，当 $Q=∑i=1nΔQiQ=\sum\limits_{i=1}^n \Delta{Q_i}$ ，即总量等于部分量之和，此时采用微元法求解。

选取 $dΩ⊂Ωd\Omega\subset\Omega$ ， $dΩd\Omega$ 的大小仍用 $dΩd\Omega$ 表示，把 $dΩd\Omega$ 上所求的量 $ΔQ\Delta Q$ 表示为： $P∈Ω(\Delta Q\approx)\ f(P)d\Omega=dQ \ , \ P\in\Omega$

$Q=∫Ωf(P)dΩQ=\int_{\Omega}f(P)d\Omega$ 称为微元法。

五、点函数积分在物理上的应用

01 质心（重心）

由物理知识，设 $P_1(x_1,y_1)$ ， $P_2(x_2,y_2)$ ，… ， $P_i(x_i,y_i)$ ，… ， $P_n(x_n,y_n)$ 为平面上的 $n$ 个质点，

质量分别为 $m_1$ ， $m_2$ ，… ， $m_i$ ，… ， $m_n$ 。

设该质点系的重心为 $(x‾,y‾)(\overline{x},\overline{y})$ ，则
$\begin{aligned} & \overline{x}=\frac{x_1m_1+x_2m_2+\cdots+x_im_i+\cdots+x_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_i+\cdots+m_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {x_im_i}}{\sum\limits_{i=1}^n {m_i}}\\ & \overline{y}=\frac{y_1m_1+y_2m_2+\cdots+y_im_i+\cdots+y_nm_n}{m_1+m_2+\cdots+m_i+\cdots+m_n}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {y_im_i}}{\sum\limits_{i=1}^n {m_i}} \end{aligned}$

若 $Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3$ ， $Ω\Omega$ 的密度函数为 $μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)$ 连续，求 $Ω\Omega$ 的重心坐标 $(x‾,y‾,z‾)(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$ 。
- 分割：
  
  将 $Ω\Omega$ 分成 $n$ 个小的形体 $ΔΩ1\Delta\Omega_1$ ， $ΔΩ2\Delta\Omega_2$ ，… ， $ΔΩi\Delta\Omega_i$ ，… ， $ΔΩn\Delta\Omega_n$ 。
  
  $ΔΩi\Delta\Omega_i$ 的大小仍用 $ΔΩi\Delta\Omega_i$ 表示，设 $λi\lambda_i$ 是 $ΔΩi\Delta\Omega_i$ 的直径， $λ=max⁡1⩽i⩽nλi\lambda=\max \limits_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_{i}$ 。
- 取近似
  
  $Pi∈(xi,yi,zi)∈ΔΩi\forall\ P_i\in(x_i,y_i,z_i)\in\Delta\Omega_i$ ，把 $ΔΩi\Delta\Omega_i$ 看成在 $P_i$ 点，
  
  它们质量近似看成 $f(xi,yi,zi)ΔΩif(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i$ ， $,ni=1,2,\cdots,n$
  
  $x‾=∑i=1nxif(xi,yi,zi)ΔΩi∑i=1nf(xi,yi,zi)ΔΩi\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n {x_i}f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i}{\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i} }%$
- 取极限
  
  $x‾=lim⁡λ→0∑i=1nxif(xi,yi,zi)ΔΩi∑i=1nf(xi,yi,zi)ΔΩi=∫Ωxf(x,y,z)dΩ∫Ωf(x,y,z)dΩ=∫Ωxf(x,y,z)dΩM\displaystyle{ \overline{x}=\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0}\frac{\sum\limits_{i=1}^n {x_i}f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i}{\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta\Omega_i}= \frac{\int_{\Omega}{x}f(x,y,z)d\Omega}{\int_{\Omega} f(x,y,z)d\Omega}= \frac{\int_{\Omega}{x}f(x,y,z)d\Omega}{M} }%$
- 同理，
  
  $z‾=∫Ωzf(x,y,z)dΩM\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}{y}f(x,y,z)d\Omega}{M} \ \ ,\ \ \overline{z}=\frac{\int_{\Omega}{z}f(x,y,z)d\Omega}{M} }%$
- 特别地，
  
  密度 $f(x,y,z)=μ0f(x,y,z)=\mu_0$ 常数，此时重心称为形心。
- 此时，
  
  $dΩΩ\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{\Omega}x\ d\Omega}{\int_{\Omega}d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}x\ d\Omega}{\Omega} }%$ ， $dΩΩ\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}y\ d\Omega}{\Omega} }%$ ， $dΩΩ\displaystyle{ \overline{z}=\frac{\int_{\Omega}z\ d\Omega}{\Omega} }%$
若 $Ω∈R2\Omega\in\mathrm{R}^2$ ， $Ω\Omega$ 的密度函数为 $μ=f(x,y)\mu=f(x,y)$ 连续，求 $Ω\Omega$ 的重心坐标 $(x‾,y‾)(\overline{x},\overline{y})$ 。
- $x‾=∫Ωxf(x,y)dΩ∫Ωf(x,y)dΩ=∫Ωxf(x,y)dΩM\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{\Omega}xf(x,y)d\Omega}{\int_{\Omega}f(x,y)d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}xf(x,y)d\Omega}{M} }%$ ， $y‾=∫Ωyf(x,y)dΩM\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}yf(x,y)d\Omega}{M} }%$
- 特别地， $(常数)f(x,y)=\mu_0\ \ (常数)$
  
  $x‾=∫ΩxdΩ∫ΩdΩ=∫ΩxdΩΩ\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{\Omega}xd\Omega}{\int_{\Omega}d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}xd\Omega}{\Omega} }%$
  
  $y‾=∫ΩydΩ∫ΩdΩ=∫ΩydΩΩ\displaystyle{ \overline{y}=\frac{\int_{\Omega}yd\Omega}{\int_{\Omega}d\Omega}=\frac{\int_{\Omega}yd\Omega}{\Omega} }%$
若 $Ω=[a,b]⊂R\Omega=[a,b]\subset\mathrm{R}$ ， $Ω\Omega$ 的密度函数为 $μ=f(x)\mu=f(x)$ 连续，求 $Ω\Omega$ 的重心坐标 $x‾\overline{x}$ 。
- 求 $Ω\Omega$ 的重心
  
  $x‾=∫abxf(x)dx∫abf(x)dx=∫abxf(x)dxM\displaystyle{ \overline{x}=\frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{\int_{a}^{b}f(x)dx}=\frac{\int_{a}^{b}xf(x)dx}{M} }%$

02 转动惯量

设质点 $A$ 的质量为 $M$ ， $L$ 为一个定直线， $A$ 到 $L$ 的距离为 $r$ ，则 $A$ 对 $L$ 的转动惯量记为 $I_L$ ，则 $I_L=mr^2$ 。

01 $Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3$ ， $μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)$ 连续，求 $Ω\Omega$ 对直线 $L$ 的转动惯量 $I_L$ 。

分析：有所求的转动惯量 $I_L$ 分布在 $Ω\Omega$ 上（总量等于部分量之和）

(1) 选取 $dΩ⊂Ωd\Omega\subset\Omega$ ， $dΩd\Omega$ 对 $L$ 的转动惯量设为 $ΔIL\Delta I_L$ ， $P(x,y,z)∈dΩ\forall\ P(x,y,z)\in d\Omega$ ，

质量 $f(x,y,z)dΩ=dM(\Delta M\approx)\ f(x,y,z)d\Omega=dM$ $⇒\Rightarrow$ $d2(P,L)⋅f(x,y,z)dΩ=dIL(\Delta M\approx)\ d^2(P,L)\cdot f(x,y,z)d\Omega=dI_L$

公式怎么记？

(2) 第二步
$\begin{aligned} & I_L=\int_{\Omega}d^2(P,L)\cdot f(x,y,z)d\Omega\\ & I_z=\int_{\Omega}(x^2+y^2)\cdot f(x,y,z)d\Omega\\ & I_y=\int_{\Omega}(y^2+z^2)\cdot f(x,y,z)d\Omega\\ & I_x=\int_{\Omega}(z^2+x^2)\cdot f(x,y,z)d\Omega \end{aligned}$
02 $Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3$ ， $μ=f(x,y)\mu=f(x,y)$ 连续，求 $Ω\Omega$ 对直线 $L$ 的转动惯量 $I_L$ ，则

$IL=∫Ωd2(P,L)⋅f(x,y)dΩI_L=\int_{\Omega}d^2(P,L)\cdot f(x,y)d\Omega$
$\begin{aligned} & I_L=\int_{\Omega}d^2(P,L)\cdot f(x,y)d\Omega\\ & I_x=\int_{\Omega}y^2\cdot f(x,y)d\Omega\\ & I_y=\int_{\Omega}x^2\cdot f(x,y)d\Omega\\ & I_z=\int_{\Omega}(x^2+y^2)\cdot f(x,y)d\Omega \end{aligned}$

03 引力

设质点 $A$ 的质量为 $m_1$ ，质点 $B$ 的质量为 $m_2$ ，求 $BA\ , \ B$ 两点间的引力 $F⃗\vec{F}$ 的大小，
$|\vec{F}|=k\frac{m_1m_2}{r^2} \ \ , \ \ r=|AB|$

01 $Ω∈R3\Omega\in\mathrm{R}^3$ ， $μ=f(x,y,z)\mu=f(x,y,z)$ 连续，有一个质点 $A(x_0,y_0,z_0)$ ，质量为 $m$ ，求 $Ω\Omega$ 对质点 $A$ 的引力 $F⃗\vec{F}$ 。

分析：所求的力 $F⃗\vec{F}$ 分布在 $Ω\Omega$ 上（总量等于部分量之和）

(1) 选取 $dΩ⊂Ω\forall\ d\Omega\subset\Omega$ ，大小记为 $dΩd\Omega$ ， $dΩd\Omega$ 对 $A$ 的引力设为 $ΔF⃗\Delta \vec{F}$

$P(x,y,z)∈dΩ\forall\ P(x,y,z)\in d\Omega$ ，把 $dΩd\Omega$ 看成 $P$ 点质量 $dM=f(x,y,z)dΩdM=f(x,y,z)d\Omega$ ，

$∣dF⃗∣=k⋅mf(x,y,z)dΩr2\displaystyle{ |d\vec{F}|=k\cdot\frac{mf(x,y,z)d\Omega}{r^2} }%$ ， $r=∣AP→∣=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2r=|\overrightarrow{AP}|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$

$dF⃗∥AP→d\vec{F}\parallel\overrightarrow{AP}$ 且方向一致 $⇒\Rightarrow$ $dF0⃗=AP0→d\vec{F^0}=\overrightarrow{AP^0}$

$AP→=(x−x0,y−y0,z−z0)\overrightarrow{AP}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$

$AP0→=(x−x0r,y−y0r,z−z0r)=x−x0r⋅i⃗+y−y0r⋅j⃗+z−z0r⋅k⃗\displaystyle{ \overrightarrow{AP^0}=(\frac{x-x_0}{r},\frac{y-y_0}{r},\frac{z-z_0}{r})=\frac{x-x_0}{r}\cdot\vec{i}+\frac{y-y_0}{r}\cdot\vec{j}+\frac{z-z_0}{r}\cdot\vec{k} }%$

于是，
$d\vec{F}=|d\vec{F}|\cdot d\vec{F^0}=km\cdot\frac{(x-x_0)f(x,y,z)d\Omega}{r^3}\cdot\vec{i}+ km\cdot\frac{(y-y_0)f(x,y,z)d\Omega}{r^3}\cdot\vec{j}+ km\cdot\frac{(z-z_0)f(x,y,z)d\Omega}{r^3}\cdot\vec{k}\ \ ,\ \ P\in\Omega$

$F=G\frac{Mm}{r^2} \ \ , \ \ r=|AB|$

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