高等数学笔记-苏德矿-第十一章-级数(Ⅰ)-数项级数

高等数学笔记-苏德矿

第十一章 级数(Ⅰ)-数项级数

第一节 级数的概念和性质

一、级数的概念

01 无穷级数

设 $u_1,u_2,\dots ,u_n,\dots$​​ 是一个数列，则和 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$​​​ 称为数项级数或无穷级数 ( 简称级数 ) 。

02 项与通项

和式中的每一项称为级数的项，$u_n$​ 称为级数的通项（或一般项）.

03 前$n$​项部分和

而其中，$S_n=\sum _{n=1}^n{u}_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$​ 称为级数的前$n$​项部分和.

04 级数收敛

若存在 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=S$，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，且收敛于 $S$.

05 级数发散

若存在 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$​​ 不存在，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$​​ 发散​.​

06 级数的和与余和

若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛于 $S$，则称 $S$ 为级数的和，记为 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S$​；

称 $r_n=\sum _{k-n+1}^{\infty }{u}_k=S-S_n$ 为级数的余和，且显然有 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n=0$.

二、两个重要的级数

01 $p-$级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$

讨论:p−级数  ∑n=1∞1np的敛散性  (1)  p=1 , 则原级数=∑n=1∞1n=11+12+13+⋯+1n−1+1n 。  设 f(x)=1x , 显然 f(x) 在 [n,n+1] 上递减 (n∈N) ,   且 n⩽x⩽n+1 , 则 1n+1⩽1x⩽1n ,   则 1n+1=∫nn+11n+1dx ⩽∫nn+11x dx⩽∫nn+11n dx=1n ,   因此 1⩾∫121x dx , 12⩾∫231x dx , 13⩾∫341x dx , ⋯ , 1n−1⩾∫n−1n1x dx , 1n⩾∫nn+11x dx ,   所以 Sn=11+12+13+⋯+1n−1+1n⩾  ∫121x dx+∫231x dx+∫341x dx+⋯+∫n−1n1x dx+∫nn+11x dx=  ∫1n+11x dx=ln⁡x∣1n+1=ln⁡(n+1)  所以 lim⁡n→∞Sn⩾lim⁡n→∞ln⁡(n+1) , 显然 lim⁡n→∞Sn→+∞ , 级数发散。  另外 , 级数 ∑n=1∞1n发散，该级数称为调和级数  (2)  p≠1 , 则原级数=∑n=1∞1np=11p+12p+13p+⋯+1(n−1)p+1np 。  ①  p<1 , 有 np<n⇒1np>1n , 则 Sn=∑n=1n1np>∑n=1n1n (调和级数)由正项级数的比较判别法可知，级数发散。  ②  p>1 , 设 f(x)=1xp , 显然 f(x) 在 [n,n+1] 上递减 (n∈N) ,   且 np⩽xp⩽(n+1)p , 则 1(n+1)p⩽1x⩽1np ,   则 Sn=11p+12p+13p+⋯+1(n−1)p+1np  (Sn 显然是递增数列)  ⩽ 1+∫121xp dx+∫231xp dx+⋯+∫n−1n1xp dx+∫nn+11xp dx=  (其中，11p⩽∫011xpdx 为第二 p 广义积分且发散，故1项不进行放缩)  < 1+∫121xp dx+∫231xp dx+⋯+∫n−1n1xp dx+∫nn+11xp dx+∫n+1+∞1xp dx=  1+∫1+∞1xp dx  (其中，∫1+∞1xp dx 为第一 p 广义积分且收敛)  所以 lim⁡n→∞Sn 有上界 , 级数收敛。综上 , 对于 p−级数 ∑n=1∞1np , p>1 时收敛 , p⩽1 时发散。 \begin{aligned} & 讨论:p-级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p=1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\ 。 \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad设\ f(x)=\frac1x \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n \leqslant x \leqslant n+1 \ , \ 则\ \frac{1}{n+1}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ \frac{1}{n+1}=\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx\ \leqslant \int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \leqslant\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n}\ dx=\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad因此\ 1\geqslant\int _{1}^{2}\frac1x\ dx \ , \ \frac12\geqslant\int _{2}^{3}\frac1x\ dx \ , \ \frac13\geqslant\int _{3}^{4}\frac1x\ dx \ , \ \cdots \ , \ \frac{1}{n-1}\geqslant\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx\ , \ \frac{1}{n}\geqslant\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ S_n=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} \geqslant \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{2}\frac1x\ dx+\int _{2}^{3}\frac1x\ dx+\int _{3}^{4}\frac1x\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx=\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{n+1}\frac1x\ dx=\left.\ln x\right|_{1} ^{n+1}=\ln(n+1)\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\geqslant\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \ln(n+1) \ , \ 显然\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n} \rightarrow +\infty \ , \ 级数发散。\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad另外 \ , \ 级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}发散，该级数称为调和级数 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p\neq1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ 。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p<1 \ , \ 有\ n^p<n\Rightarrow \frac{1}{n^p}>\frac{1}{n} \ , \ 则\ S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n^p}>\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n}\ (调和级数) \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad由正项级数的比较判别法可知，级数发散。\\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p>1 \ , \ 设\ f(x)=\frac{1}{x^p} \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n^p \leqslant x^p \leqslant (n+1)^p \ , \ 则\ \frac{1}{(n+1)^p}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n^p} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ S_{n}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ \ (S_{n}\ 显然是递增数列)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\leqslant\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (其中，\frac{1}{1^p}\leqslant\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ 为第二\ p\ 广义积分且发散，故1项不进行放缩)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad<\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 1+\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ \ (其中，\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ 为第一\ p\ 广义积分且收敛)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\ 有上界 \ , \ 级数收敛。\\ & 综上 \ , \ 对于\ p-级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \ , \ p>1\ 时收敛 \ , \ p\leqslant1\ 时发散。\\ \end{aligned} ​讨论:p−级数  n=1∑∞​np1​的敛散性  (1)  p=1 , 则原级数=n=1∑∞​n1​=11​+21​+31​+⋯+n−11​+n1​ 。  设 f(x)=x1​ , 显然 f(x) 在 [n,n+1] 上递减 (n∈N) ,   且 n⩽x⩽n+1 , 则 n+11​⩽x1​⩽n1​ ,   则 n+11​=∫nn+1​n+11​dx ⩽∫nn+1​x1​ dx⩽∫nn+1​n1​ dx=n1​ ,   因此 1⩾∫12​x1​ dx , 21​⩾∫23​x1​ dx , 31​⩾∫34​x1​ dx , ⋯ , n−11​⩾∫n−1n​x1​ dx , n1​⩾∫nn+1​x1​<