高等数学笔记-苏德矿-第十一章-级数(Ⅰ)-数项级数_级数无穷∑n=1=s,则级数无穷∑n=1(un+un+1)的和是-优快云博客

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本文详细解读了无穷级数的概念，包括数项级数、项与通项、前n项部分和的定义，以及级数收敛和发散的判断标准。特别聚焦于p-级数和几何级数的收敛性分析，介绍了比较判别法、比值判别法和根植判别法。此外，文章还深入讲解了正项级数的收敛性判别方法，如比阶判别法和绝对收敛性。

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高等数学笔记-苏德矿

第十一章级数(Ⅰ)-数项级数

第一节级数的概念和性质

一、级数的概念

01 无穷级数

设 $u1,u2,…,un,…u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}, \ldots$ 是一个数列，则和 $∑n=1∞un=u1+u2+⋯+un+⋯\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots$ 称为数项级数或无穷级数 ( 简称级数 ) 。

02 项与通项

和式中的每一项称为级数的项， $u_{n}$ 称为级数的通项（或一般项）.

03 前 $n$ 项部分和

而其中， $Sn=∑n=1nun=u1+u2+⋯+unS_n = \sum \limits_{n=1}^{n} u_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ 称为级数的前 $n$ 项部分和.

04 级数收敛

若存在 $lim⁡n→∞Sn=S\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}=S$ ，则称级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且收敛于 $S$ .

05 级数发散

若存在 $lim⁡n→∞Sn\lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 不存在，则称级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散.

06 级数的和与余和

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛于 $S$ ，则称 $S$ 为级数的和，记为 $∑n=1∞un=S\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}=S$ ；

称 $rn=∑k−n+1∞uk=S−Snr_{n}=\sum \limits_{k-n+1}^{\infty} u_{k}=S-S_{n}$ 为级数的余和，且显然有 $lim⁡n→∞rn=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty}r_n=0$ .

二、两个重要的级数

01 $p -$ 级数 $∑n=1∞1np\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$

$\begin{aligned} & 讨论:p-级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ p=1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\ 。 \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad设\ f(x)=\frac1x \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n \leqslant x \leqslant n+1 \ , \ 则\ \frac{1}{n+1}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ \frac{1}{n+1}=\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx\ \leqslant \int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \leqslant\int _{n}^{n+1}\frac{1}{n}\ dx=\frac{1}{n} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad因此\ 1\geqslant\int _{1}^{2}\frac1x\ dx \ , \ \frac12\geqslant\int _{2}^{3}\frac1x\ dx \ , \ \frac13\geqslant\int _{3}^{4}\frac1x\ dx \ , \ \cdots \ , \ \frac{1}{n-1}\geqslant\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx\ , \ \frac{1}{n}\geqslant\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ S_n=\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n} \geqslant \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{2}\frac1x\ dx+\int _{2}^{3}\frac1x\ dx+\int _{3}^{4}\frac1x\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac1x\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac1x\ dx=\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\int _{1}^{n+1}\frac1x\ dx=\left.\ln x\right|_{1} ^{n+1}=\ln(n+1)\\ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\geqslant\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \ln(n+1) \ , \ 显然\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n} \rightarrow +\infty \ , \ 级数发散。\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad另外 \ , \ 级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}发散，该级数称为调和级数 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ p\neq1 \ , \ 则原级数=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ 。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ p<1 \ , \ 有\ n^p<n\Rightarrow \frac{1}{n^p}>\frac{1}{n} \ , \ 则\ S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n^p}>\sum\limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n}\ (调和级数) \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad由正项级数的比较判别法可知，级数发散。\\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ p>1 \ , \ 设\ f(x)=\frac{1}{x^p} \ , \ 显然\ f(x)\ 在\ [n,n+1] \ 上递减 \ (n\in N) \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad且\ n^p \leqslant x^p \leqslant (n+1)^p \ , \ 则\ \frac{1}{(n+1)^p}\leqslant \frac1x \leqslant\frac{1}{n^p} \ , \ \\ & \quad\quad \ \ \quad\quad则\ S_{n}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots+\frac{1}{(n-1)^p}+\frac{1}{n^p}\ \ (S_{n}\ 显然是递增数列)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\leqslant\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad (其中，\frac{1}{1^p}\leqslant\int _{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\ 为第二\ p\ 广义积分且发散，故1项不进行放缩)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad<\ 1+\int _{1}^{2}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{2}^{3}\frac{1}{x^p}\ dx+\cdots+\int _{n-1}^{n}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n}^{n+1}\frac{1}{x^p}\ dx+\int _{n+1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx=\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 1+\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ \ (其中，\int _{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}\ dx\ 为第一\ p\ 广义积分且收敛)\\ & \quad\quad \ \ \quad\quad所以\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} S_{n}\ 有上界 \ , \ 级数收敛。\\ & 综上 \ , \ 对于\ p-级数\ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \ , \ p>1\ 时收敛 \ , \ p\leqslant1\ 时发散。\\ \end{aligned}$

02 几何级数 (等比级数) $∑n=1∞aqn−1\sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}$

$\begin{aligned} & 讨论:几何级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}的敛散性\\ & \quad\quad \ \ (1)\ \ |q|\neq1 \ , \ 则XXXXXXX。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ |q|<1 \ , \ 则 S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} aq^{n-1}=\frac{首项(1-公比^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q|^n)}{1-|q|}=\frac{a}{1-|q|}\ \ , \ 级数收敛。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ |q|>1 \ , \ 则 S_{n}=\sum\limits_{n=1}^{n} aq^{n-1}=\frac{首项(1-公比^{项数})}{1-公比}=\frac{a(1-|q|^n)}{1-|q|}\rightarrow-\infty\ \ , \ 级数发散。 \\ & \quad\quad \ \ (2)\ \ |q|=1 \ , \ \\ & \quad\quad\quad \ \ ①\ \ q=1 \ , \ 则 \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}=na\ \ , \ 级数发散。 \\ & \quad\quad\quad \ \ ②\ \ q=-1 \ , \ 则 \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1}=\begin{cases}\ 0 \quad n=2m \\ \ a \quad n=2m+1 \end{cases} \ , \ 级数发散。 \\ & 综上 \ , \ 对于几何级数\ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty} aq^{n-1} \ , \ |q|<1\ 时收敛 \ , \ |q|\geqslant1\ 时发散。\\ \end{aligned}$

三、级数收敛的必要条件

必要条件

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $lim⁡n→∞un=0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ （一般项是无穷小）
必要条件的逆否命题

若 $lim⁡n→∞un≠0\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}\neq0$ ，则级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散。
注意
- $∑n=1∞un≠0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \neq 0$ 或 $∑n=1∞un=∞(不存在)\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = \infty \text{(不存在)}$ $⇒\Rightarrow$ $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散
- $∑n=1∞un=0\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} = 0$ 不一定导出 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛

四、级数的基本性质

性质1（线性性质）

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛到 $S$ ，级数 $∑n=1∞vn\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛到 $T$ ，则级数 $∑n=1∞(αun±βvn)\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\alpha u_{n} \pm \beta v_{n}\right)$ 收敛到 $αS+βT\alpha S+\beta T$ 。
性质2（有限敛散不变性）

将级数增加、删减或改换有限项，不改变级数的敛散性。

级数的敛散性只关注靠后的无穷多项。
性质3（合并敛散不变性）

表述1：若级数收敛于和 $S$ ，则将相邻若干项相加作一项而组成的新级数仍然收敛于 $S$ 。

表述2：若级数收敛于和 $S$ ，则在该级数中任意添加括号得到的新级数也收敛，且仍然收敛于 $S$ 。

一般级数反之不成立 $⇒\Rightarrow$ 反例： $∑n=1∞(−1)n\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ 。正向级数反之亦成立。
性质4（收敛的必要条件）

若级数收敛，则级数一般项的极限趋于零。反之不成立。

反例：调和级数。

第二节正项级数的敛散性

一、正项级数的概念

若级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 满足 $un⩾0u_n \geqslant 0$ ，则称之为正项级数。

显然正项级数的部分和 $S_n$ 单调增加，因此有如下定理：

正项级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 $ \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } $ 部分和 $S_n$ 有上界。

二、正项级数敛散性判别法

01 比较判别法

$\begin{aligned} & 若级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}\ 与 \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n}\ 均为正项级数 \ , \ 且 u_n \leqslant v_n \ , \ 则有\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散.} \end{aligned}$

02 比阶判别法

比较判别法的极限形式
$\begin{aligned} & 若级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \ 与 \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \ 均为正项级数 \ , \ 且 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac {u_{n}}{v_{n}}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0<l<+\infty \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{与} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{同敛散。}\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=0 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{收敛} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛。} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=+\infty \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} v_{n} \text{发散} \Rightarrow \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散。} \end{aligned}$

03 比值判别法

达朗贝尔判别法
$\begin{aligned} & 若正项级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断。\\ \end{aligned}$

若 $u_{n+1}$ 与 $u_n$ 有公因式，尝试比值判别法。

04 根植判别法

柯西判别法
$\begin{aligned} & 若正项级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0 \leqslant l<1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散.} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断。\\ \end{aligned}$

05 积分判别法

$\begin{aligned} & 若非负函数 f(x) 在 (a,+\infty) 时单调减少，级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 的通项 u_{n}=f(n) ，\\ & 则级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 与积分 \int_{a}^{+\infty} f(x) d x \ 有相同的敛散性。 \end{aligned}$

06 判别法小结

比值和根值判别法实际上可看作是在将级数与等比级数作比较，当所求极限存在时，可称级数是拟等比级数。
比较判别法是将一般性 $u_n,v_n$ 作无穷小比较。通常我们取 $v_n$ 为 $1np\frac{1}{n^p}$ ，因此这时实际上我们在分析无穷小的阶。
判断正项级数收敛的方法：
- ① 前 $n$ 项和有上界
- ② 判别法；③ 比阶判别法
- ④ 比值判别法；⑤ 根植判别法
- ⑥ 级数收敛必要条件逆否命题
- ⑦ 线性运算法则；⑧ 定义
级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与级数 $(l≠0)\sum \limits_{n=1}^{\infty} l\cdot u_{n}\ (l\neq0)$ 同敛散。
当 $un⩽0u_n \leqslant 0$ 时，级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 为负项级数，转换为研究正项级数 $∑n=1∞(−un)\sum \limits_{n=1}^{\infty} (-u_{n})$ 。

第三节任意项级数的收敛性

一、交错级数收敛性的判别

01 交错级数的概念

各项正负相间的级数称为交错级数，其形式为 $∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 或 $∑n=1∞(−1)nun\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ （其中 $u_n>0$ ）.

02 莱布尼兹判别法

若交错级数 $∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ （其中 $u_n>0$ ）满足 ${un⩾un+1lim⁡n→∞un=0\begin{cases}{u_{n} \geqslant u_{n+1}} \\ \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 \end{cases}$ ，

则级数 $∑n=1∞(−1)n−1un\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 收敛，且其余和的绝对值小于 $u_{n+1}$ ，即 $∣∑k=n+1∞uk∣<un+1\left|\sum \limits_{k=n+1}^{\infty} u_{k}\right|<u_{n+1}$ .

二、绝对收敛与条件收敛

01 绝对收敛

若级数 $∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则称 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛。

02 条件收敛

若级数 $∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 发散，而级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则称级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛。

03 关于绝对收敛的命题

若级数 $∑n=1∞∣un∣\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}\right|$ 收敛，则级数 $∑n=1∞un\sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。
若级数绝对收敛，则级数收敛。

三、绝对值下的判别法推广

01 绝对值的比值判别法

$\begin{aligned} & 若一般级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0\leqslant l<1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1\ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散}\ (\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=\infty\neq 0)\\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断\\ \end{aligned}$

02 绝对值的根植判别法

$\begin{aligned} & 若一般级数 \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} 满足 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|u_n|}=l \ , \ 则有\\ & \quad \ \; \text{当} \ 0 \leqslant l<1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{收敛} \\ & \quad \ \; \text{当} \ l>1 \ \text{时，} \sum \limits_{n=1}^{\infty} u_{n} \text{发散}\ (\lim \limits_{n \rightarrow \infty} u_{n}=\infty\neq 0) \\ & \quad \ \; \text{当} \ l=1\ \text{时，} 无法判断\\ \end{aligned}$

四、判断一般级数敛散性的方法

绝对值比值判别法
绝对值根植判别法
绝对收敛判别法
莱布尼兹判别法
级数收敛必要条件逆否命题
线性运算法则
根据级数的定义