高数中各类积分的区别与联系

本文概述了高数中点函数积分、二重积分和三重积分的基本概念,以及它们在物理中的应用,如质量计算和体积测量。接着深入讨论了第一类和第二类曲线积分,涉及变力做功和流量问题,以及格林公式和斯托克斯定理的转换。最后介绍了第二类曲面积分与三重积分的关系,以Gauss定理为核心,揭示了积分间的转换原理。

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高数中各类积分的区别与联系

1. 点函数积分

  • 定积分 ∫abf(x)dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}abf(x)dx

    • 由计算“曲边梯形的面积”引入
    • ∫ab1dx\int_{a}^{b}{1 dx}ab1dx即为一段线段的长度,或者可以理解为密度均匀为1的细棒的质量
    • ∫abf(x)dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}abf(x)dx可以理解为密度不均匀的细棒的质量;也可以理解为向二维扩展,看成是一段曲线与两条直线包围下的面积
  • 二重积分 ∬σf(x,y)dσ\iint_{\sigma} f\left(x,y\right)d\sigmaσf(x,y)dσ

    • 由计算“曲顶柱体体积”引入
    • ∬σ1σ\iint_{\sigma} 1 \sigmaσ1σ即为一个平面的面积,或者可以理解为密度均匀为1的平面薄板的质量
    • ∬σf(x,y)dσ\iint_{\sigma} f\left(x,y\right)d\sigmaσf(x,y)dσ 可以理解为密度不均匀的薄板的质量;也可以理解向三维扩展,看成是顶端曲面与垂直于底端的直线段围成的体积
  • 三重积分 ∭Vf(x,y,z)dV\iiint_{V} f\left(x,y,z\right)dVVf(x,y,z)dV

    • 由计算“三维空间中的不均匀密度有界物体的质量”引入
    • ∭V1dV\iiint_{V} 1dVV1dV即为一个空间一个立体的体积,或者可以理解为密度均匀为1的平面立体的质量
    • ∭Vf(x,y,z)dV\iiint_{V} f\left(x,y,z\right)dVVf(x,y,z)dV可以理解为密度不均匀的立体的质量,由于在物理中的四维空间意义不大,因此物理意义上不向四维扩展
  • 第一类曲线积分 ∫Γf(x,y)ds=∫αβf(x(t),y(t))x′2(t)+y′2(t)dt\int_{\Gamma} f\left(x,y\right)ds=\int_{\alpha}^{\beta}{f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\sqrt{x^{\prime2}\left(t\right)+y^{\prime2}\left(t\right)}dt}Γf(x,y)ds=αβf(x(t),y(t))x2(t)+y2(t)dt

    • 由计算“曲线质量”引入
    • 公式由微元法得到,根号下内容为曲线微元,实质上仍然是一个一元积分
  • 第一类曲面积分 ∬Σf(x,y,z)dS=∬Σf(x,y,z(x,y))1+zx′2+zy′2dσ\iint_{\Sigma} f\left(x,y,z\right)dS=\iint_{\Sigma}{f\left(x,y,z\left(x,y\right)\right)\sqrt{1+z_x^{\prime2}+z_y^{\prime2}}d\sigma}Σf(x,y,z)dS=Σf(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dσ

    • 由计算“曲面质量”引入
    • 公式由投影法得到,即第一类曲面积分向二重积分的投影,同时这种投影的思想在斯托克斯公式的推导时将第二类空间曲面积分投影为第二类平面曲面积分有相似之处

2. 第二类曲线积分与曲面积分

  • 第二类曲线积分

    • 由计算“变力做功”引力
    • 理解第二类曲线积分与第一类曲线积分表达式的不同:由于第二类曲线积分积分路径的方向有重要影响,因此他需要考虑每个方向的方向矢量,因此和第一类曲线积分作为整体的dsdsds相比会出现单独的dx,dy,dzdx, dy, dzdx,dy,dz
    • 平面第二类曲线积分
      • ∫ΓABPdx+Qdy\int_{\Gamma_{AB}}{Pdx+Qdy}ΓABPdx+Qdy
      • 在满足偏导连续时有Green: ∮ΓPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∣∂∂x∂∂yPQ∣\oint_{\Gamma}{Pdx+Qdy}=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\left|\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}\\P&Q\\\end{matrix}\right|ΓPdx+Qdy=D(xQyP)dxdy=xPyQ,即第一类曲线积分与二重积分的互相转换.
    • 空间第二类曲线积分
      • ∫ΓABPdx+Qdy+Rdz\int_{\Gamma_{AB}}{Pdx+Qdy+Rdz}ΓABPdx+Qdy+Rdz
      • 在满足偏导连续时有Stokes: ∮LPdx+Qdy+Rdz=∬s(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∬S∣dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\oint_{L}{Pdx+Qdy+Rdz}=\iint_{s}{\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy}=\iint_{S}\left|\begin{matrix}dydz&dzdx&dxdy\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\\\end{matrix}\right|LPdx+Qdy+Rdz=s(yRzQ)dydz+(zPxR)dzdx+(xQyP)dxdy=SdydzxPdzdxyQdxdyzR,即第二类曲线积分与第二类曲面积分之间的转换
  • 第二类曲面积分 ∬sP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy\iint_{s}{P\left(x,y,z\right)dydz+Q\left(x,y,z\right)dxdz+R\left(x,y,z\right)dxdy}sP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy

    • 由计算“流量”问题引入
    • 在满足偏导连续时有Gauss: ∯sPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭v(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz\oiint_{s}{Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}=\iiint_{v}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydzsPdydz+Qdzdx+Rdxdy=v(xP+yQ+zR)dxdydz,即第二类曲面积分与三重积分之间的转换
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