高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第六节-闭区间连续函数的性质

这篇博客探讨了高等数学中闭区间连续函数的几个关键性质:有界性、最值定理、介值定理和零点定理。强调了在闭区间上连续函数的特性,如函数的最值保证和介值性质,以及零点的存在性。此外,提到了这些定理在开区间上的适用性差异。

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章 极限与连续

第六节 闭区间连续函数的性质

一、有界性定理

  • f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a, b]f(x)C[a,b], 则 f(x)f(x)f(x)[a,b][a, b][a,b] 有界
  • 联系函数曲线考虑,开区间行不行?
    • 注意:改为开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 不行

二、最值定理

  • 表述01
    • f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a, b]f(x)C[a,b]​​, 则 ∃ξ1、ξ2∈[a,b]\exists \xi_{1} 、 \xi_{2} \in[a, b]ξ1ξ2[a,b]​​, 使得f(ξ1)=max⁡x∈[a,b]f(x),f(ξ2)=min⁡x∈[a,b]f(x)f\left(\xi_{1}\right)=\max \limits_{x \in[a, b]} f(x), f\left(\xi_{2}\right)=\min \limits_{x \in[a, b]} f(x)f(ξ1)=x[a,b]maxf(x),f(ξ2)=x[a,b]minf(x)
  • 表述02
    • f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a, b]f(x)C[a,b], 则 f(x)f(x)f(x)[a,b][a, b][a,b]​ 上存在最大值和最小值(开区间不一定)
    • 例如,y=1x,(1,2)y=\frac1x,(1,2)y=x1,(1,2)
  • 表述03(武忠祥)
    • f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续,则 f(x)f(x)f(x)[a,b][a,b][a,b]​​ 上必有最大值与最小值

三、介值定理

  • 表述01
    • f(x)∈C[a,b],M,m(M>m)f(x) \in C[a, b], M, m(M>m)f(x)C[a,b],M,m(M>m) 分别是 f(x)f(x)f(x)[a,b][a, b][a,b] 的最大值和最小值, 则 ∀μ∈(m,M),∃ξ∈(a,b)\forall \mu \in(m, M), \exists \xi \in(a, b)μ(m,M),ξ(a,b) 使得 f(ξ)=μf(\xi)=\muf(ξ)=μ
  • 表述02(武忠祥)
    • f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续,且 f(a)≠f(b)f(a) \neq f(b)f(a)=f(b) ,则对于任意介于 f(a)f(a)f(a)f(b)f(b)f(b) 之间的数 CCC ,至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ(a,b) ,使 f(ξ)=Cf(\xi)=Cf(ξ)=C

四、零点定理

  • 表述01
    • f(x)∈C[a,b],f(a)f(b)<0f(x) \in C[a, b], f(a) f(b)<0f(x)C[a,b],f(a)f(b)<0​, 则 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in(a, b)ξ(a,b)​, 使得 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0
  • 表述02(武忠祥)
    • f(x)f(x)f(x) 在闭区间 [a,b][a,b][a,b] 上连续,且 f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0f(a)f(b)<0,则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ(a,b) ,使 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0

最后

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