高等数学笔记-乐经良老师-第二章-极限与连续-第六节-闭区间连续函数的性质

这篇博客探讨了高等数学中闭区间连续函数的几个关键性质：有界性、最值定理、介值定理和零点定理。强调了在闭区间上连续函数的特性，如函数的最值保证和介值性质，以及零点的存在性。此外，提到了这些定理在开区间上的适用性差异。

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高等数学笔记-乐经良老师

第二章极限与连续

第六节闭区间连续函数的性质

一、有界性定理

若 $\in C[a, b]$ , 则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 有界
联系函数曲线考虑，开区间行不行?
- 注意：改为开区间 $(a, b)$ 不行

二、最值定理

表述01
- 若 $\in C[a, b]$ , 则 $∃ξ1、ξ2∈[a,b]\exists \xi_{1} 、 \xi_{2} \in[a, b]$ , 使得 $f(ξ1)=max⁡x∈[a,b]f(x),f(ξ2)=min⁡x∈[a,b]f(x)f\left(\xi_{1}\right)=\max \limits_{x \in[a, b]} f(x), f\left(\xi_{2}\right)=\min \limits_{x \in[a, b]} f(x)$
表述02
- 若 $\in C[a, b]$ , 则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上存在最大值和最小值（开区间不一定）
- 例如， $y=1x,(1,2)y=\frac1x,(1,2)$
表述03（武忠祥）
- 设 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值与最小值

三、介值定理

表述01
- 若 $\in C[a, b], M, m(M>m)$ 分别是 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 的最大值和最小值, 则 $∀μ∈(m,M),∃ξ∈(a,b)\forall \mu \in(m, M), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $f(ξ)=μf(\xi)=\mu$
表述02（武忠祥）
- 设 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $\neq f(b)$ ，则对于任意介于 $f (a)$ 与 $f (b)$ 之间的数 $C$ ，至少存在一点 $ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)$ ，使 $f(ξ)=Cf(\xi)=C$

四、零点定理

表述01
- 若 $\in C[a, b], f(a) f(b)<0$ , 则 $∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in(a, b)$ , 使得 $f(ξ)=0f(\xi)=0$
表述02（武忠祥）
- 设 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f (a) \cdot f (b) < 0$ ，则至少存在一点 $ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)$ ，使 $f(ξ)=0f(\xi)=0$

最后

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