高等数学 · 第二章 极限与连续

第一节 数列及其极限

一、数列的基本概念

称按照一定顺序排列起来的无穷多个数 $a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$ 为数列，称其中的第 $n$ 项 $a_n$ 为数列的通项或者一般项，数列可用通项简记为 { a n } \{ a_n \} {an​}。
对于数列 { a n } \{a_n\} {an​} , 若存在整数 $M>0$, 使得对一切 $n$ 都有 $|a_n|\le M$ 成立，则称数列 { a n } \{a_n\} {an​} 有界，否则称数列 { a n } \{a_n\} {an​}无解。

二、数列的极限

定义1

设 { a n } \{a_n\} {an​} 是一个数列， $a$ 是一个常数. 如果当 $n$ 无限增大时, $a_n$ 无限趋近于常数 $a$， 则称 $a$ 是数列 { a n } \{a_n\} {an​} 的极限， 记为
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a或a_n\to a(n\to \infty )$$
此时，也称数列 { a n } \{a_n\} {an​}收敛于 $a$，若这样的常数 $a$ 不存在， 则称数列发散；如果这个常数存在，那么称这个数列是收敛的。

例如：
$\underset{n\to \infty }{\lim }n$ 是发散的；
$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$、 $\underset{n\to \infty }{\lim }a=a$ 是收敛的。

极限的几何解释： 在数轴上以 $a$ 为中心， 一任意整数 $\epsilon$ 为半径做出的开区间 $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$。 当 $n$ 充分大时 $(n>N)$，所有对应的 $a_n$ 都要落在这个开区间内。

定义2

设数列为 { a n } \{a_n\} {an​}， $a$ 是常数。 如果对于任何给定的整数 $\epsilon >0$， 都存在 $N$， 当 $n>N$ 时， 有 $|a_n-a|<\epsilon$，则称 $a$ 是数列 { a n } \{a_n\} {an​} 的极限， 记为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$.

三、收敛数列的性质

1. 极限的唯一性： 若数列收敛，则极限唯一
2. 收敛数列的有界性： 收敛数列必有界（无界数列一定发散）
3. 保序性：若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$， $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$，且 $a<b$，当 $n$ 充分大时 $(n>N)$，有 $a_n<b_n$。
   推论： 若当 $n>N$ 时， 有 $a_n\ge b_n$， 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$， $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$，则 $a\ge b$。

四、数列极限的运算法则及存在准则

若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=b$，则
(1) $\lim (a_n\pm b_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\pm \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=a\pm b$;
(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=ab$
(3) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n}$
推论1 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }c{a}_n=c\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=ca$
推论2 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a$，k 是任意整数，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n^k=a^k$

夹逼定理

若数列 $a_n,b_n,c_n$ 满足不等式
$$a_n\le b_n\le c_n且\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=a$$
则数列 $b_n$ 收敛 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=a$；

单调有界数列必有极限

例题： 设 $a_n=\frac{sinn}{n}$，判断数列 $a_n$ 的收敛性。
解： 由于 $-\frac{1}{n}\le \frac{sinn}{n}\le \frac{1}{n}$，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0,lim-\frac{1}{n}=0$.
由夹逼定理可知， $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{sinn}{n}=0$，即数列 {$a_n$} 收敛。

第二节 数项级数的基本概念

一、数项级数的定义及收敛性

基本定义

设 {$u_n$} 是一个数列，称表达式
$$u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$$
为数项级数，简称级数，记为 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，即
$$\sum _{n=1}^{\infty }=u_1+u_2+\cdots +u_n+\cdots$$
其中第 $n$ 项 $u_n$ 成为级数的通项，也称一般项。

收敛性

对于数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，若它的前 n 项和
$$S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$$
当 $n\to \infty$ 时，无限趋于常数 $S$。即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=s$，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，并称 S 是级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 的和，记为
$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=S$$
若极限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$不存在，则称级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 发散。

• 设 c 为非零常数，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }c{u}_n$ 同时收敛或同时发散，那么在收敛时有：
  $$\sum _{n=1}^{\infty }c{u}_n=c\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$$

• 改变或去掉级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 的前面有限项的值，不会改变级数的敛散性。

• 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$ 都收敛，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)$收敛，且 $\sum _{n=1}^{\infty }(u_n\pm v_n)=\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\pm \sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$

• 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$.

第三节 函数的极限

一、自变量趋于无穷大时函数 f(x) 的极限

• 设 $f(x)$ 在形如 $[a,+\infty )$ 的区间内有定义， $A$ 是一个常数。 若当 $x$ 无限趋近于正无穷大 $+\infty$ 时， $f(x)$ 无限趋近于 $A$， 则称 $A$ 是 $f(x)$ 当 $x\to +\infty$ 时的极限，记为
  $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(x\to +\infty )$$
• 设 $f(x)$ 在形如 $(-\infty ,b]$ 的区间内有定义， $A$ 是一个常数。 若当 $x$ 无限趋近于负无穷大 $-\infty$ 时， $f(x)$ 无限趋近于 $A$， 则称 $A$ 是 $f(x)$ 当 $x\to -\infty$ 时的极限，记为
  $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(x\to -\infty )$$
  $$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A的充分必要条件是\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$$

二、自变量趋于有限值 $x_0$ 时函数f(x)的极限

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右侧领域内有定义，$A$ 是一个常数。若当 $x$ 从大于 $x_0$ 的党项无限趋近于 $x_0$时, $f(x)$无限趋近于 $A$, 则称 A 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限,记为
$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(x\to x_0^{+})或|f(x_0+0)$$
类似的可定义 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限，记为
$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A或f(x)\to A(x\to x_0^{-})或f(x_0-0)$$
函数 $f(x)$ 的左极限和有极限统称为 单侧极限。

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 的充分必要条件是 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$

三、函数极限的性质

1. 唯一性
2. 局部有界性：若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，则存在常数 $M>0$ 和 $x_0$ 的某去心领域，使得当 $x$ 在该领域内取值时， $|f(x)|\le M$.
3. 保序性：若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$，且 $A>B$，则存在 $x_0$ 的某去心领域，使得当 $x$ 在该领域内取值时，有 $f(x)>g(x)$

四、函数极限的运算法则及存在准则

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$，则
(1) $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\pm g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=A\pm B$
(2) $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)g(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=AB$
(3) $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)}=\frac{A}{B}$ (此时 $B\ne 0$).
推论1. 若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$, 则 $\underset{x\to x_0}{\lim }cf(x)=c\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=cA$
推论2. 若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x),k$是任意正整数，则
$$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^k(x)=(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x){)}^k=A^k$$

夹逼定理

若函数 $f(x),g(x),h(x)$ 在 $x_0$ 的某去心领域内满足不等式 $g(x)\le f(x)\le h(x)$，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=A,$ 则极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$

五、两个重要的极限

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$.
2. $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^x=e$
   演变：$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

第四节 无穷小量与无穷大量

一、无穷小量的概念

若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，则称函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时是无穷小量，简称 无穷小 .
注意：第一，要注意自变量的变化过程，例如$\frac{1}{x}$当 $x\to \infty$ 时是无穷小量，而当 $x\to 1$ 时则不是无穷小量；第二，当注意所考虑函数(数列)的极限值是零，例如 $10^{-100}$ 当 $x\to x_0$是极限不是零，故 $10^{-100}$不是无穷小量，尽管他是很小很小的数；第三，$0$是唯一可以作为无穷小量的一个常数。

二、无穷小量的性质

• 有限多个无穷小量的代数和仍是无穷小量
• 有限多个无穷小量的乘积也是无穷小量
• 常数与无穷小量的乘积是无穷小量
• 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量
• $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha (x)=0$, 即 $\alpha (x)$ 是当 $x\to x_0$时的无穷小量。

三、 无穷小量的比较

一般地，我们可以用两个无穷小量之比的极限值来衡量它们趋于零的速度的快慢。因此，引出下述无穷小量比较的定义：
若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha (x)=0$,$\underset{x\to x_0}{\lim }\beta (x)=0,且\beta (x)\ne 0$
(1) 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c(c\ne 0$,是常数)，则称 $\alpha (x)$ 当 $x\to x_0$时与 $\beta (x)$同阶的无穷小量，记为 $\alpha (x)=O(\beta (x))$
(2) 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，则称 $\alpha (x)$ 当 $x\to x_0$时与 $\beta (x)$等价的无穷小量，记为 $\alpha (x)\sim \beta (x)$
(3) 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，则称 $\alpha (x)$ 当 $x\to x_0$时与 $\beta (x)$高阶的无穷小量，记为 $\alpha (x)=o(\beta (x))$

定理：若当 $x\to x_0$ 时 $\alpha (x)\sim \beta (x)$, 且 $\alpha (x),\beta (x)\ne 0$, $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\alpha (x),\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{\alpha (x)}$ 存在，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\alpha (x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\beta (x)$,$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{\alpha (x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{\beta (x)}$

四、无穷大量的概念

若当 $x\to x_0$时，$|f(x)|$无限增大，则称 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大量，记为 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$ 或 $f(x)\to \infty (x\to x_0);$

• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$，则 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0$;
• 若 $\underset{x\to x_0}{\lim }=0$，且 $f(x)\ne 0$, 则 $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\infty$

第五节 函数的连续性

一、函数连续性的概念

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点的某领域内有定义。若 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，点 $(x_0)$ 称为函数 $f(x)$ 的连续点。
根据这个定义，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续必须同时满足三个条件：$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，$f(x_0)$有定义，$f(x_0)$与$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$相等。
如果 $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续。
如果 $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。

函数 $fx(x)$ 在点 $x_0$ 处连续的充分必要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处既左连续又右连续。

二、函数的间断点及其分类

定义

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $f(x)$ 在点$x_0$处间断，点 $x_0$成为函数$f(x)$的间断点。
由函数在点 $x_0$ 处连续的定义可知，在下列三种情况中至少一种情况下函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处间断。

1. $f(x_0)$ 无定义
2. $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 不存在
3. $f(x_0)$ 存在，$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，但是它们不相等

分类

间断点分类：第一类间断点和第二类间断点
第一类间断点包括可取间断点和跳跃间断点；
第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点。

1. 可去间断点。$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ 存在，但是$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)$，或 $f(x_0)$无定义
2. 跳跃间断点。$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x),\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$都存在，但不相等
3. 无穷间断点。$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$
4. 振荡间断点。若在KaTeX parse error: Undefined control sequence: \x at position 7: x \to \̲x̲_0的过程中，$f(x)$ 的值无限次地在两个不同的数之间变动，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的振荡间断点。

三、 连续函数的运算与初等函数的连续性

若函数 $f(x),g(x)$ 在点 $x_0$ 出连续，则函数 $f(x)\pm g(x),f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)\ne 0)$都在点 $x_0$ 出连续。
备注：反函数、复合函数、一切初等函数都在其定义域内都是连续函数。

若函数 $y=f(u)$ 在点 $u_0$ 处连续，$\underset{x\to x_0}{\lim }\varphi (x)=u_0$，则符合函数 $y=f(\varphi (x))$ 当 $x\to x_0$ 时极限存在，且
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(\varphi (x))=f(u_0)$$

四、闭区间上连续函数的性质

最值定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必取得最大值与最小值，即存在 ${\xi }_1,{\xi }_2\in [a,b]$ 使得 $f({\xi }_1)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值，$f({\xi }_2)$ 是$f(x)$在 $[a,b]$ 上的最大值。

有界性定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 必在 $[a,,b]$ 上有界。

零点定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$, 则必至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=0$。

介值定理

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，$f(a)\ne f(b)$, 则对任一介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的常数 $c$， 比至少存在一点 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f(\xi )=c$.
推论：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则它必能取得它在此区间上的最小值与最大值之间的一切值。