2018.09.07【COGS693】Antiprime数（唯一分解）

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本文探讨了利用唯一分解定理求解约数个数的问题。通过逆用该定理，结合搜索策略，实现了一个高效的算法。核心在于约数个数公式，即n=∏i=1tpikin=\prod_{i=1}

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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解析：

直接逆用唯一分解。搜索。

约数个数公式是这道题的关键。
对于 $n=\prod_{i=1}^tp_i^{k_i}$ ， $n$ 的约数个数为 $\prod_{i=1}^{t}(k^i+1)$ 。

复杂度仍然是对数级别的。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const
#define st static

inline
ll getint(){
	re ll num=0;
	re char ch=gc();
	while(!isdigit(ch))ch=gc();
	while(isdigit(ch))num=(num<<1)+(num<<3)+(ch^48),ch=gc();
	return num;
}

bool mark[50002];
int prime[50002],pcnt;

inline
void linear_sieves(int len=50000){
	mark[1]=true;
	for(int re i=2;i<=len;++i){
		if(!mark[i])prime[++pcnt]=i;
		for(int re j=1;j<=pcnt&&i*prime[j]<=len;++j){
			mark[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}

int ans,maxn;
ll n;

inline
void dfs(ll num,ll tot,int pos,int up){
	if(maxn<tot||(maxn==tot&&num<ans)){
		ans=num;
		maxn=tot;
	}
	if(pos>pcnt)return ;
	for(int re i=1;i<=up;++i){
		num*=prime[pos];
		if(num>n)return ;
		dfs(num,tot*(i+1),pos+1,i);
	}
}


signed main(){
	freopen("antip.in","r",stdin);
	freopen("antip.out","w",stdout);
	n=getint();
	linear_sieves(min(n,(ll)50000));
	dfs(1,1,1,500);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}