zxyoi_dreamer的博客（不定期诈尸）

传送门题解：先莫比乌斯反演+调和级数预处理出部分前缀和。杜教筛的式子非常显然：S(n)=(n3)−∑i=2nS(⌊ni⌋)S(n)={n\choose 3}-\sum_{i=2}^nS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)S(n)=(3n​)−i=2∑n​S(⌊in​⌋)代码：#include<bits/stdc++.h>#define ll long...

简要题意：给你n,m,Bn,m,Bn,m,B，求∑i=1n∑j=1m(gcd⁡(i,j)B)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m{\gcd(i,j) \choose B}i=1∑n​j=1∑m​(Bgcd(i,j)​)模数不是很大。题解：OJ上的题目不是日语原文看着莫名窒息而且这题面剧情也不是很连贯啊，看着尬死了流水的轻音部，铁打的滑滑蛋，以及打Fe的zxyoi假设 n≤...

传送门题解：题意简单描述如下：给出一个长为nnn的数组，求两种计算方式的算出来的权值：对于所有n!n!n!种不同的排列，计算所有区间gcd之和（该数组中相同数不按照相同算，比如如果数组为{21,22,3}\{2_1,2_2,3\}{21​,22​,3}，那么{2,2,3}\{2,2,3\}{2,2,3}这个排列需要算两次，分别为{21,22,3}\{2_1,2_2,3\}{21​,22...

传送门题解：一看这种题就是大力上莫比乌斯反演。首先maxmaxmax并不是能够处理的东西。设：A(n)=∑i=1n∑j=1iiσ(ij)B(n)=∑i=1niσ(i2)A(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii\sigma(ij)\\B(n)=\sum_{i=1}^ni\sigma(i^2)A(n)=i=1∑n​j=1∑i​iσ(ij)B(n)=i=1∑n​iσ(i2...

传送门题解：前面那个关于nnn的式子丢掉不管。首先我们可以魔改树的标号使得我们需要求的式子变成下面这个：Ans=∑i=1n∑j=1nϕ(ij)dist(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\phi(ij)dist(i,j)Ans=i=1∑n​j=1∑n​ϕ(ij)dist(i,j)对于欧拉函数，有：ϕ(ij)=ϕ(i)ϕ(j)gcd(i,j)ϕ(gcd(i,...

传送门题解：事实证明，在这种需要整除分块的题目中，不对min_25记忆化，常数实在是太大了（虽然还是能过）。fk(i)f^k(i)fk(i)看着不舒服，以下全部写作f(k)f(k)f(k)则我们要求这个东西：Ans=∑i=1n∑j=1nf(gcd(i,j))=∑d=1nf(d)∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[gcd(i,j)=1]\begin{aligned}Ans&am...

传送门题解：杜教筛里面long long 没有取模炸了一堆。。。首先推式子：Ans=∑i=1n∑j=1nσk(ij)=∑i=1n∑j=1n∑x∣i∑y∣j[gcd(x,y)=1](iyx)k=∑d=1nμ(d)dk∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋∑x∣i∑y∣j(iyx)k=∑d=1nμ(d)dk∑i=1⌊nd⌋∑x∣i(ix)k∑j=1⌊nd⌋∑y∣jyk=∑d=1nμ(d)dk(∑i...

题意：给定一个nnn，求有多少对(a,b)(a,b)(a,b)满足a≤n,b≤n,lcm(a,b)&gt;na≤n,b≤n,lcm(a,b)&gt;na≤n,b≤n,lcm(a,b)>n，n≤1e10n\leq 1e10n≤1e10题解：首先转化一下，计算a≤n,b≤n,lcm(a,b)≤na\leq n,b\leq n,lcm(a,b)\leq na≤n,b≤n,l...

传送门题解：十分扯淡的莫反题。我们要求的是这个东西：Ans=∑i=1n∑j=1i−1[(i+j)∣ij]Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}[(i+j)\mid ij]Ans=i=1∑n​j=1∑i−1​[(i+j)∣ij]直接骚推就行了。Ans=∑d=1n∑i=1n∑j=1i−1[gcd(i,j)=d][(i+j)∣ij]=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋∑j...

传送门题解：我们考虑算出F[d]F[d]F[d]表示所有d∣gcdd\mid gcdd∣gcd的方案之和，然后莫比乌斯反演就行了。但是实际上我们发现从大往小算可以直接用减法来容斥，就不用莫比乌斯反演了。代码：#include<bits/stdc++.h>#define ll long long#define re register#define gc get_cha...

传送门题解：首先很显然地，我们发现题目的限制可以转化为f(a,b)ab=f(b,a)ab=f(a,a+b)a(a+b)\frac{f(a,b)}{ab}=\frac{f(b,a)}{ab}=\frac{f(a,a+b)}{a(a+b)}abf(a,b)​=abf(b,a)​=a(a+b)f(a,a+b)​进而发现，对于任意a,ba,ba,b，我们可以得到g(gcd(a,b))=f(a,b)...

传送门题解：首先所有相同的数只保留一个。然后由于gcdgcdgcd和lcmlcmlcm可以表示成各个质因子的次数取max⁡\maxmax和min⁡\minmin的情况，我们由Min−MaxMin-MaxMin−Max容斥可以得到：lcm(S)=∏T⊂Sgcd(T)−1∣T∣+1lcm(S)=\prod_{T\sub S}gcd(T)^{-1^{|T|+1}}lcm(S)=T⊂S∏​gcd...

洛谷传送门BZOJ传送门解析：首先稍有常识的人都知道这道题绝对不可能是字符串题。这种只给串长和字符集大小的题目只可能是计数。而计数方式有很多啊，DP，群论，生成函数，甚至这道题的做法，莫比乌斯反演。看数据DPDPDP和群论基本上就告别正解了，生成函数推不出通项公式也是白搭（而且字符串轮换循环的情况让生成函数也告别正解了）。这TM谁一眼看得出是莫反啊。我们先忘记我们知道这道题需要用...

BZOJ传送门洛谷传送门解析：基础容斥一下可以将问题转化为：∑i=1a−1∑j=1c−1[gcd(i,j)=k]+∑i=1b∑j=1d[gcd(i,j)=k]−∑i=1a−1∑j=1d[gcd(i,j)=k]−∑i=1b∑j=1c−1[gcd(i,j)=k]\begin{aligned}&amp;amp;amp;\sum_{i=1}^{a-1}\sum_{j=1}^{c-1}[gcd(i,j...

BZOJ传送门洛谷传送门解析：当然这道题有常数十分优秀的容斥O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)做法：https://blog.youkuaiyun.com/zxyoi_dreamer/article/details/82289575以及复杂度十分优秀的O(n)O(n)O(n)做法思路：O(n)O(n)O(n)做法就是莫比乌斯反演，不过因为线性筛的较大常数被容斥做法吊打。要不...

BZOJ传送门洛谷传送门解析：数学题就不废话了，我们要求的是这个式子：∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)i=1∑n​j=1∑m​lcm(i,j)还是转化成gcdgcdgcd，一波常规操作：Ans=∑i=1n∑j=1mi×jgcd(i,j)=∑d=1min⁡(n,m)∑i=1n∑j=1mi×jd[gcd(i,j)=d]=∑d...

DarkBZOJ传送门解析：好像就是多组询问版本的Crash的数字表格。整除分一下块就行了。代码：#include&lt;bits/stdc++.h&gt;using namespace std;#define ll long long#define re register#define gc get_char#define pc putchar#define cs con...

BZOJ传送门洛谷传送门解析：首先呢，这个既没有gcdgcdgcd也没有lcmlcmlcm的式子让我们很头疼啊。。。但是我们有一个结论，在文章的最后会我给出一个证明：d(ij)=∑k∣i∑l∣j[gcd⁡(k,l)=1]d(ij)=\sum_{k\mid i}\sum_{l\mid j}[\gcd(k,l)=1]d(ij)=k∣i∑​l∣j∑​[gcd(k,l)=1]通过这个结论我们...

BZOJ传送门洛谷传送门解析：首先一个很久没有的数论函数符号σ(n)=∑d∣nd\sigma(n)=\sum_{d\mid n}dσ(n)=∑d∣n​d就是nnn的所有约数之和。那么我们要求的这个式子就是代码：#include&amp;amp;amp;lt;bits/stdc++.h&amp;amp;amp;gt;using namespace std;#define ll long long#define re reg...

DarkBZOJ传送门解析：首先这个东西我们必须要把它转化成式子不然没法推。考虑利用莫比乌斯函数转化一下，我们要求的就是：∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)∣μ(gcd(i,j))∣\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)|\mu(gcd(i,j))|i=1∑n​j=1∑m​lcm(i,j)∣μ(gcd(i,j))∣注意上面μ\muμ外面套的是绝对值符号。我...

传送门BB:zxyoi做这道题的心路历程大概是这样子的：闲来无事题库乱逛，一搜”约数“出来一道黑题。然后随手就点开了。一看这个式子。。。我。。。好的肯定是要化成两两的gcdgcdgcd不然没法做。日，这个怎么化。。。这个gcd(i,j,k)gcd(i,j,k)gcd(i,j,k)是要干什么？这个gcd(ij,jk,ik)gcd(ij,jk,ik)gcd(ij,jk,ik)又是什...

数论选讲（初等数论基础概念就不普及了）一些前置姿势：素数分布：素数有无限个，用π(x)\pi(x)π(x)表示小于xxx的素数个数，则随着xxx的增长，有π(x)=Θ(xln⁡x)\pi(x)=\Theta(\frac{x}{\ln x})π(x)=Θ(lnxx​)，同时蕴含常数111。这个结论可以用于估计某些与枚举素数有关的算法的复杂度。算术基本定理，又称唯一分解定理。对于任...

洛谷传送门BZOJ传送门解析：很明显这是在致敬【SDOI2014】约数个数和。所以才叫&amp;quot;旧试题&amp;quot;还是先化简式子。首先有二元组的结论，证明在上面那篇博客里面。d(ij)=∑k∣i∑l∣j[gcd⁡(k,l)=1]d(ij)=\sum_{k\mid i}\sum_{l\mid j}[\gcd(k,l)=1]d(ij)=k∣i∑​l∣j∑​[gcd(k,l)=1]其实约数个数的结论可以推广...

DarkBZOJ传送门洛谷传送门解析：应教练要求开始准备数论讲义，现在把开通博客之前的写一些数论题目给弄上来。显然题目要求的是这个东西：∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)is&nbsp;a&nbsp;prime]\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)\mathrm{is\text{ }a\text{ }prime}]i=1∑n​j=1∑m​[gcd(i,j...