cogs 693. Antiprime数

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本文介绍如何通过编程寻找不超过给定数值的最大Antiprime数，详细解释了Antiprime数的概念及实现算法，并附带完整代码。

条件：

输入文件：antip.in 输出文件：antip.out
时间限制：1 s 内存限制：128 MB
注释：

传送门：

http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=693

如果一个自然数n（n>=1），满足所有小于n的自然数（>=1）的约数个数都小于n的约数个数，则n是一个Antiprime数。譬如：1, 2, 4, 6, 12, 24。

任务：

编一个程序：

1、从antip.in 中读入自然数n。

2、计算不大于n的最大Antiprime数。

3、将结果输出到antip.out中。

输入( antip.in)：

输入文件antip.in只有一个整数，n（1 <= n <= 2 000 000 000）。

输出(antip.out):

输出文件antip.out也只包含一个整数，即不大于n的最大Antiprime数。

样例输入( antip.in):

1000

样例输出(antip.out)：

840

题解：

如果一个数X是反质数，则它的约数的个数大于所有Y(X>Y)的约数的个数。也就是说反质数是最小的具有相同个约数的数。寻找不大于N的最大反质数问题可以转化成，寻找不大于N的约数个数最多的最小正整数。

求一个数的约数个数可以用乘法原理，例如 $75={ 3 }^{ 1 }\times { 5 }^{ 2 }$ ，则75有 $(1+1)(2+1)=6$ 个约数。对于这道题我们可以采取搜索的方法。按照质因数从小到大依次枚举指数，找出最多的约数个数情况下最小的正整数。

设 $A=\prod{{p[i]}^{a[i]}}$ (1≤i≤k)

A的约数个数 $= \prod { { (1+a[i]) } }$ ,(1≤i≤k)

A的所有约数和 $=\sum{ x\quad (gcd(A,x)==x)}=\prod{\sum{{p[j]}^{i}}}$ ,(0≤i≤a[j]，1≤j≤k)

代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,maxx,ans;
LL num[12]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,21,23};
void findd(LL now,LL tot,LL u,LL v) {
    if(maxx<tot || (tot==maxx && ans>now)) {
        maxx=tot;ans=now;
    }
    if(v>=11)
        return;
    for(LL i=1;i<=u;i++)
    {
        now*=num[v];
        if(now>n) 
            return;
        findd(now,tot*(1+i),i,v+1);
    }
}

int main() {
    freopen("antip.in","r",stdin);
    freopen("antip.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n);
    findd(1,1,500,1);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}