反素数 &[BSOJ1414] Antiprime数& [BSOJ4861] 最多因数 & [LuoguP1221] 最多因子数 题解

反素数

文章参考(ACdreamers)

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1.定义

“于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i)，0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　————度娘说的

什么意思呢？用自己的口水话解释一下：对于一个数 $x$，如果从$1$ 到 $(x-1)$这几个数中没有任意一个数的因数个数大于$x$的，那么就称$x$为反素数。
其实，反素数的本质就是尽可能地让因子数量最大，但是数值最小。

2.性质

从反素数的定义可以发现凡是反素数都满足两个性质：

• 性质一：对于所有反素数$x={a_1}^{b_1}\ast {a_2}^{b_2}\ast {a_2}^{b_2}\ast \cdot \cdot \cdot \ast {a_k}^{b_k}$,则必有$b_1\ge b_3\ge \cdot \cdot \cdot \ge b_k$
  这点很好理解，借助贪心的思想我们思考：首先要让因子数量尽可能的多，只需要把质因数的次数变多，或者质因数变多。但是还得满足让数值尽可能的小，那么就要让小的质因数的次数尽可能的大
• 性质二：一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数
  举个例子：$6=2\ast 3,10=2\ast 5$ $6$和$10$因子数目相同，显然$6$更小。直接跳过一个小一点的质数，放一个大的质数显然会使数值变得更大。

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3.例题

[BSOJ1414] Antiprime数

传送门（题目应是在Antiprime数因数个数最多的情况下输出最小的一个）
这道题是一道模板题。（这范围不像搜索啊……）
大致思路是：从最小的质数（2）开始用$Dfs$枚举每个质数的指数，根据性质一，指数应是不上升的。每次$Dfs$传递四个值：

• deep：枚举到第几个质数了
• arr：当前质数的最大指数（当前指数$\le$上一个质数的指数）
• cur：从开始枚举到当前共有多少因数
• num：从开始枚举到当前所有枚举的质数组成的数（幂之后相乘）

每次$Dfs$开始时传递的值是上一次枚举的结果，所以先保存值，再判定边界，最后循环枚举。

void Dfs(int deep,int arr,int cur,ll num){ 
	if(cur>maxn||(cur==maxn&&num<ans))
		maxn=cur,ans=num;
	if(deep>=9)
		return;
	for(register int i=1;i<=arr;i++){
		num*=prime[deep];
		if(num>n)
			return;
		Dfs(deep+1,i,(i+1)*cur,num);
	}
}

那边界又是什么呢？应该枚举多少个质数呢？（先去看看下面的完整代码吧）
我们注意到有关边界的有四处：

• if(num>n)
  　　　这个好理解：当这次枚举的结果超过范围了，自然不用向下枚举了，return。

• ll prime[15]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
  if(deep>9)
  　　　为什么只需要这９(prime[0]~prime[8])个质数呢？ 原因很简单：首先，因为是反素数，所以因数要多，数本身值要小，所以是前9个质数。其次，我们把每9个质数都只取一个，此时组成的数已是223,092,870了，再多1个29的话就会超过范围2,000,000,000了。（其实多算几个也没错）

• Dfs(0,31,1,1);
  　　　为什么第一个初值传31呢？ 原因也很简单：第一个质数是2，那最多能选多少个2相乘呢？ ——31个，$2^{31}=2,147,483,648$恰好大于范围。

这。。。这不是暴力吗？？ 要这个干嘛？

for(register ll i=1;i<=n;i++){
			ll cnt=0;
			for(register ll j=1;j*j<=i;j++)
				if(i%j==0){
					cnt++;
					ll temp=i/j;
					if(i%temp==0&&temp!=j)
						cnt++;
				}
			if(cnt>maxn)
				maxn=cnt,ans=i;
		}

首先，这个暴力的复杂度在一定范围内是可以接受的。问题就来了不是有$Dfs$了吗？还要暴力做什么？ 我们思考这样一种毒瘤数据 情况，当L，R相距很近时，在这个区间中不存在反素数，但仍有答案。这种数据出现在枚举的区间很小情况下，便可以用暴力解决。至于区间多大时该用暴力，这个没有固定的值，只有根据题的范围来确定，不过我通常用100,000 or 200,000。

AC代码 运行结果

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename T>
inline void read(T&x){
	x=0;int temp=getchar();bool f=false;
	while(temp<'0'||temp>'9'){if(temp=='-') f=true; temp=getchar();}
	while(temp>='0'&&temp<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+temp-'0'; temp=getchar();}
	if(f) x=-x;
}
void print(int x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

ll n,maxn,ans;
ll prime[15]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};

void Dfs(int deep,int arr,int cur,ll num){ 
	if(cur>maxn||(cur==maxn&&num<ans))
		maxn=cur,ans=num;
	if(deep>9)
		return;
	for(register int i=1;i<=arr;i++){
		num*=prime[deep];
		if(num>n)
			return;
		Dfs(deep+1,i,(i+1)*cur,num);
	}
}

int main(){
	read(n);
	if(n<=200000){
		for(register ll i=1;i<=n;i++){
			ll cnt=0;
			for(register ll j=1;j*j<=i;j++)
				if(i%j==0){
					cnt++;
					ll temp=i/j;
					if(i%temp==0&&temp!=j)
						cnt++;
				}
			if(cnt>maxn)
				maxn=cnt,ans=i;
		}
	}
	else
		Dfs(0,31,1,1);
	print(ans);
	return 0;
}

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[BSOJ4861] 最多因数 & [LuoguP1221] 最多因子数

这道题和上一道题其实差不多，上一道题只是把左端点设为1了。
[BSOJ]传送门 AC代码 运行结果

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
template <typename T>
inline void read(T&x){
	x=0;int temp=getchar();bool f=false;
	while(temp<'0'||temp>'9'){if(temp=='-') f=true; temp=getchar();}
	while(temp>='0'&&temp<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+temp-'0'; temp=getchar();}
	if(f) x=-x;
}

void print(ll x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}

ll l,r;
ll ans,maxn=0;
ll prime[15]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};

void Dfs(int deep,int arr,int cur,ll num){
	if(maxn<cur||(maxn==cur&&num<ans))
		maxn=cur,ans=num;
	if(deep>8)
		return;
	for(register int i=1;i<=arr;i++){
		num*=prime[deep];
		if(num>r)
			return;
		Dfs(deep+1,i,cur*(i+1),num);
	}
}

int main(){
	read(l),read(r);
	if(r-l<=100000){
		ll maxn=0;
		for(register ll i=l;i<=r;i++){
			ll cnt=0;
			for(register ll j=1;j*j<=i;j++)
				if(i%j==0){
					cnt++;
					ll temp=i/j;
					if(temp!=j&&i%temp==0)
					 	cnt++;
				}
			if(cnt>maxn)
				maxn=cnt,ans=i;
		}
	}
	else
		Dfs(0,30,1,1);
	print(ans);
	return 0;
}

---

[Luogu]传送门 AC代码 运行结果

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;

template <typename T>
inline void read(T&x){
	x=0;int temp=getchar();bool f=false;
	while(temp<'0'||temp>'9'){if(temp=='-') f=true; temp=getchar();}
	while(temp>='0'&&temp<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+temp-'0'; temp=getchar();}
	if(f) x=-x;
}

ll prime[15]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41};
ll l,r;
ll maxn=0,ans,cnt;

void Dfs(int deep,int arr,int cur,ll num){
	if(maxn<cur||(maxn==cur&&num<ans))
		maxn=cur,ans=num;
	if(deep>8)
		return;
	for(register int i=1;i<=arr;i++){
		num*=prime[deep];
		if(num>r)
			return;
		Dfs(deep+1,i,cur*(i+1),num);
	}
}

int main(){
	read(l),read(r);
	if(r-l<=100000){
		for(register ll i=l;i<=r;i++){
			cnt=0;
			for(register int j=1;j*j<=i;j++)
				if(i%j==0){
					cnt++;
					ll temp=i/j;
					if(i%temp==0&&temp!=j)
						cnt++;
				}
			if(cnt>maxn)
				ans=i,maxn=cnt;
		}
	}
	else
		Dfs(0,31,1,1);
	printf("Between %lld and %lld, %lld has a maximum of %lld divisors.",l,r,ans,maxn);
	return 0;
}