zxyoi_dreamer的博客（不定期诈尸）

传送门 解析： zxyoi完成oi生涯中的第一次出题。 思路： 首先肯定是要推结论的。 令询问为nnn，mmm时的答案为N(n,m)N(n,m)N(n,m) 首先断环成链，同一条项链考虑mmm中断开的方式，那么得到的链的数量就有mN(n,m)mN(n,m)mN(n,m)。每个位置任意填得到的答案为nmn^mnm，其中必然有重复。 考虑序列a1a2...ama_1a_2...a_ma1​a2​.....

传送门 题解： 看到旋转同构，考虑Burnside。 旋转同构中常见的phi的转化就不提了。 直接考虑循环个数为ddd的时候的答案。 显然只有当d∣nd\mid nd∣n且d∣md\mid md∣m的时候答案非0。 特判掉n=mn=mn=m和m=0m=0m=0的情况。 现在环上必然有黑色和白色。 设N=n/d,M=m/dN=n/d,M=m/dN=n/d,M=m/d，接下来分类讨论。 如果M≤KM...

传送门 题解： 首先遇到这种图同构问题数据范围还小得一批的，还是先考虑暴力枚举有序正整数拆分，算出某种置换下的答案后来搞一波。 注意到题目要求的实际上是每个连通块都有欧拉回路，也就是所有点的度数必须是偶数。 可以直接用最小表示法来表示循环，然后爆搜所有边等价类对点的度数的影响。然后高斯消元解xor方程组算方案数就行了。 但是高斯消元上界是O(n4)O(n^4)O(n4)，最坏是O(n2)O(n^...

传送门 题解： 和这道题是一样的，只是把染色的部分换了一下而已：https://blog.youkuaiyun.com/zxyoi_dreamer/article/details/100211613 代码： #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define re register #define cs const using std::...

传送门 题解： 目前是洛谷上面非打表代码的rk1。 很显然我们考虑点的n!n!n!种置换。 显然对应着边的n!n!n!种置换，对于每条边的出现与否，我们可以看作染色为黑白。 显然染色方案用Polya算一下，现在的问题是每种点置换中有多少种边等价类。 首先考虑一条边(u,v)(u,v)(u,v)，如果u,vu,vu,v在同一个循环中，显然所有在循环中距离相等的点的连边在同一个等价类中，形式化地说，...

用 k 种颜色对大小为 n 的环进行染色，要求相邻点上的颜色不同，旋转同构的方案视作相同，求本质不同的方案数。对998244353取模。 T≤20，n≤10 ^ 18，k≤10 ^ 9 保证n不是998244353的倍数 题解： 利用Burnside，我们显然考虑枚举置换。 发现一个循环位移iii次的置换作用于一个有标号环上面之后，会把问题变成一个环长为gcd(n,i)gcd(n,i)gcd(n...

比较毒瘤的群论推导题

传送门 题解： 很早之前看到过这道题，当时连置换是什么都不知道。。。 首先考虑置换ggg中的某一个长为SSS的循环环，学过群论的应该知道，在置换自乘nnn次之后，这个循环会变为gcd(n,S)gcd(n,S)gcd(n,S)个循环。 考虑将ttt个长为SSS的循环拼接成一个，使得若干次自乘之后这个循环断裂为ttt个长为SSS的循环。翻过任何一本群论教材就知道，最后在同一循环中的元素是那些只与初始...

传送门 解析： 很显然我们需要运用BurnsideBurnsideBurnside来计算而不是PolyaPolyaPolya，因为这个显然并不是那么简单的染色问题。 那么考虑怎么求出所有不动点个数。 考虑如下几种置换： 不动，1种，12个循环，每个长度为1。 以体对角线为轴旋转，4条对角线，每条2种转法，4个循环，每个循环长度为3 以对面中心连线为轴旋转，3条线，每条有3种转法，但是有区别 其...

BZOJ传送门 洛谷传送门 解析： 将iii向a[i]a[i]a[i]连边，那么我们得到一个内向基环树森林（环上点没有外向边）。 显然环外的骰子直接分配极大值就行了。 对于环内的骰子我们有这样一种策略：选择一个点，向父亲方向依次放下1~n的值，再选择它的父亲，向父亲方向依次放下n+1 ~ 2n。如此重复直到填满。 可以证明这样的策略填出来的环内概率≥12\ge\frac{1}2≥21​，而且只有...

BZOJ传送门 洛谷传送门 解析： 首先题目告诉我们给的置换就是一个群，那么可以直接上Burnside。 发现这个染色有个数限制，不能用Polya。 那么怎么求置换不动点个数？ 显然我们只要求一个循环里面的所有点染上相同的颜色，把所有循环以及循环的长度求出来，然后做背包方案数就行了。 由于懒得写DP就直接上记搜了。 代码： #include<bits/stdc++.h> #defi...

简要题意：求解小于等于nnn个点，有欧拉回路，允许有自环的无向图的个数，点标号重排后同构的图算同一种。 题解： 欧拉图判定就两个条件，连通，所有点度数为偶数。 自环先不管，反正对点度和欧拉回路都没有影响。 连通先不管，算出所有情况后用不连通容斥算连通，这个应该是一个比较显然的思路。 考虑算所有点度数都为偶数的图在允许标号重排下有多少种，就是这道题：here 然后现在考虑容斥算连通的答案。 由于这个...