考研数学——高数：微分方程

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于 2024-03-03 22:58:23 发布 · 2.3k 阅读

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#考研数学 #高数

本文详细介绍了线性微分方程的一阶齐次和非齐次解法，包括推导过程，如利用特征方程处理常系数线性方程，以及伯努利方程的换元技巧。通过例题展示了如何应用这些方法求解实际问题。

一、一阶线性微分方程

两种形式：

非齐次： $y'+p(x)y=Q(x)$

齐次： $y'+p(x)y = 0$

推导过程

推导公式的过程一般由特殊到一般：所以先求解齐次方程的解

$>>>\frac{dy}{dx} = -p(x)y$

$>>>\frac{dy}{y} = -p(x)dx$ （然后对等式两边同时积分）

$>>> ln|y| = -\int p(x)dx+ c_1$

$>>> y = \pm e^{c_1}e^{-\int p(x)dx} = ce^{-\int p(x)dx}$

再来求非齐次方程的解，由齐次解中的常数c联想非齐次方程中的Q(x)

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