三校联考模拟（五） fun函数返回值

最新推荐文章于 2022-07-25 20:24:44 发布

xyc1719

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文章标签：题解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/xyc1719/article/details/81950620

本文解析一道数论题目，通过分解质因数的方法来找出所有符合条件的整数对(a, b)，使得它们的最小公倍数等于给定的数n。详细介绍了算法原理及其实现过程。

题面：
给定一个数n求两个数a，b满足lcm(a,b)==n，且1≤a≤b≤n。问a,b个数。
数据范围n≤10^14，最多有200个n。

这是一道明显的数论题。
虽然一直是希望同学们能够打表找规律，依照规律出正解。但本人找规律和打表能力都极差，只能依靠手动推导侥幸骗分。不幸的是上午智商下线，混充暴力获得三十分。

下面给出不严谨证明（有一点跳跃和辣眼睛）:
首先还是分解质因数。将n分解成 $n=\Pi pi^{ei}$ 的形式。可以证明a和b不能有除此之外的任何素数，不然lcm(a,b)必定不等于n。其次我们将a，b分解 $a=\Pi pi^{ai}$ 和 $b=\Pi pi^{bi}$ 。再次可以证明的是 $\forall ei,ei=max(ai,bi)$ 。既然是这样就很好搞了，先不管a和b谁大谁小。对于每一个pi，有ai=ei或者bi=ei。假设ai=ei，则bi可以是0~ei中的任何数，有(ei+1)中可能；同理对于bi=ei也有(ei+1)种可能，但要删去重复情况(ei,ei)（出现两次）。所以对于每个ei我们有（2*ei+1）种可能。将所有情况乘起来，再加上只算了一次的(a=n&&b=n)，除以二就是正确答案。

我果然很笨。。。。

code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=7e6;
const LL np=20;
LL fac[N+1000],p[N>>3];
LL cnt=0;
LL a[np],tot,ans;
int main(){
    freopen("fun.in","r",stdin);
    freopen("fun.out","w",stdout);
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!fac[i]) fac[i]=i,p[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&p[j]<=fac[i];j++){
            if(i*p[j]>N) break;
            fac[i*p[j]]=p[j];
        }
    }
    long long T,kase=0,n,x;
    cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);
        memset(a,0,sizeof(a));
        tot=0,ans=0,x=n;
        for(int j=1;j<=cnt;j++){
            if(p[j]*p[j]>x) break;
            if(x%p[j]==0){
                tot++;
                while(x%p[j]==0){
                    x/=p[j];
                    a[tot]++;
                }
            }
        }
        if(x!=1) a[++tot]=1;
        ans=a[1]*2+1;
        for(int i=2;i<=tot;i++){
            ans=ans*(2*a[i]+1);
        }
        ans=ans+1>>1;
        printf("Case %lld: ",++kase);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}