8、时态逻辑的证明理论基础与基于游戏的计算方法

时态逻辑的证明理论基础与基于游戏的计算方法

1. 线性时态逻辑（LTL）与Büchi自动机

1.1 LTL公式与Büchi自动机的关系

对于原子命题集合 $\Pi$，若LTL公式 $\phi$ 满足 $PROP(\phi) \subseteq \Pi$，且有Büchi自动机 $A = (\Sigma, Q, Q_0, \delta, F)$ 使得 $\phi \approx_{\Sigma} A$（其中 $\Sigma = P(\Pi)$），则有以下结论：
- X算子情况 ：对于 $X\phi$，存在Büchi自动机 $A’ = (\Sigma, Q \uplus {q_{new}}, {q_{new}}, \delta’, F)$，其中 $\delta’ = \delta \uplus {q_{new} \xrightarrow{a} q_0 | a \in \Sigma, q_0 \in Q_0}$，使得 $X\phi \approx_{\Sigma} A’$。
- F算子情况 ：对于 $F\phi$，存在Büchi自动机 $A’ = (\Sigma, Q \uplus {q_{new}}, Q_0 \cup {q_{new}}, \delta’, F)$，其中 $\delta’ = \delta \uplus {q_{new} \xrightarrow{a} q_0, q_{new} \xrightarrow{a} q_0 | a \in \Sigma, q_0 \in Q_0}$，使得 $F\phi \approx_{\Sigma} A’$。

若有LTL公式 $\phi_1