4、时态逻辑：从哲学到证明理论的探索

时态逻辑：从哲学到证明理论的探索

在当今数字化和大数据时代，信息流动和计算系统的安全性与可信度变得至关重要。时态逻辑在模型检查和验证技术中发挥着重要作用，而其背后的证明理论基础却常常被数字世界的用户所忽视。本文将深入探讨几种时态逻辑系统，包括线性时态逻辑（LTL）、计算树逻辑（CTL）、完全计算树逻辑（CTL*），以及相关的证明理论基础。

线性时态逻辑（LTL）

LTL 主要考虑过渡系统中的单一计算，通过线性模型来表示无限状态序列。它不仅涉及局部属性，还能对未来状态进行描述，但无法表达分支时间属性。

• 语法 ：LTL 公式的形式化定义如下：
  [
  \phi\psi := p|\perp|\neg\phi|\phi \land \phi|X \phi|F\phi|G\phi|\phi \mathbin{\mathcal{U}} \psi
  ]
  其中 (p \in PROP)（命题集合）。
• 语义 ：LTL 的模型是无限计算，用带有原子命题的标签序列表示。对于线性模型 (\sigma)、位置 (i \in N) 和公式 (\phi)，满足关系 (\vDash) 可归纳定义：
  • (\sigma, i \not\vDash \perp)
  • (\sigma, i \vDash p) 当且仅当 (p \in \sigma(i))
  • (\sigma, i \vDash \neg\phi) 当且仅当 (\sigma, i \not\vDash \phi)