7、时态逻辑中的表方法与自动机方法

时态逻辑中的表方法与自动机方法

1. 可满足性检查与表方法概述

可满足性检查程序可以通过解释转换系统（ITS）来实现。在经典逻辑中，对公式模型的系统搜索可以通过一种树状图来实现，这种图被称为表（tableau）。表搜索会逐步构建图，遵循公式的句法结构，将其展开为更简单的公式，直到满足标签中公式为真的所有要求。

表方法的历史可以追溯到荷兰逻辑学家 E. W. Beth，他注意到了 Gentzen 的工作与他的表之间的联系。在时态逻辑中，时态公式的表可能会到达与之前遇到的节点具有相同公式列表标签的节点。对于可满足性等决策问题，模型的搜索过程必须终止，因此需要定义封闭表和开放表的概念。

1.1 线性时态逻辑（LTL）中的表示例

以公式 (GFp \land GF\neg p) 为例，其表图可以逐步构建。表作为有向图增长，遵循从现有节点生成新节点的规则。节点是公式集，生成规则遵循布尔连接词、时态运算符的公式分解规则，以及为当前状态创建后继的规则，后继的标签收集该状态标签中所有以 (X) 开头的子公式。

当生成具有已存在标签的状态时，图会循环回到具有该标签的已存在状态；当生成具有矛盾公式对的标签时，分支以标签 (\perp) 终止。如果对满足模型的搜索不成功而终止，表被称为“封闭”，输入的公式集被声明为不可满足；如果搜索成功或永不终止，表被称为“开放”。

1.2 基本模态逻辑（BML）中的表构建基础

在基本模态逻辑中，公式 (\eta) 的所有子公式集用 (sub(\eta)) 表示，公式集 (\Gamma) 的所有子公式集用 (sub(\Gamma)) 表示。基本逻辑连接词包括 (\top)、(\pe