6、时态逻辑的证明理论基础与表格演算

时态逻辑的证明理论基础与表格演算

1. 时序逻辑TL的相继式演算

在时序逻辑的研究中，相继式演算为逻辑推理提供了重要的工具。Nishimura在1980年首次系统地尝试为Prior的基本时态逻辑系统TL设计相继式演算。

1.1 GKt演算

• 规则定义 ：GKt使用标准的基于集合的相继式，结构规则仅有弱化规则和切割规则。布尔运算符的逻辑规则与LKp一致，而原始时态运算符H和G的逻辑规则只有右引入规则，没有对应的左引入规则。
  • ( \frac{\Gamma \Rightarrow H\Delta, \phi}{G\Gamma \Rightarrow \Delta, G\phi} )（Gr）
  • ( \frac{\Gamma \Rightarrow G\Delta, \phi}{H\Gamma \Rightarrow \Delta, H\phi} )（Hr）
• 优缺点 ：这些规则相对于TL的Kripke语义是可靠的，并且Nishimura证明了GKt是完备的，等价于TL的公理化刻画。然而，它并非一个良好的相继式演算，因为规则[Gr]和[Hr]明显违反了子公式原则，且切割规则无法消除。例如，特征TL重言式( \phi \to G\neg H\neg \phi )（即( \phi \to GP\phi )）在不应用切割规则的情况下无法在GKt中推导出来。

1.2 GK4t和GHKt演算

• GK4t