21、广义随机图与无标度随机图的特性解析

广义随机图与无标度随机图的特性解析

1. 广义随机图基础

在广义随机图中，会对节点对赋予一个均匀概率 (p) 来表示它们之间存在链接。按照构建规则，两个节点之间只能有一条链接，并且 (p) 既代表两个节点之间边的期望数量，也代表找到它们之间边的概率。

1.1 ER 模型 B 的变体

有一种 ER 模型 B 的变体，它是 (G_{conf}^{N,K’}) 的一个特殊情况。其构建方式如下：考虑 (N^2) 对节点 ((i, j))，其中 (i) 和 (j) 是从 (1) 到 (N) 均匀且独立抽样得到的。每次，节点 (i) 和 (j) 以概率 (p/2) 相连。这样，(p) 就表示节点对 ((i, j)) 之间的期望链接数，而非存在链接的概率。具体而言，当 (i \neq j) 时，节点 (i) 和 (j) 之间的期望链接数为 (p)；当 (i = j) 时，期望链接数为 (p/2)。该模型等同于 (G_{conf}^{N,K’})，其中 (e_{ij} = p)（(i \neq j)），(e_{ij} = p/2)（(i = j)），意味着 (K’ = {d, d, \ldots, d})，其中 (d = \sqrt{2Mp})。

2. 任意度分布的随机图

2.1 构建方法

我们的实际需求是构建具有指定度分布 (p_k) 的图集合，而非指定度序列 (K) 的图。当 (N_k = p_kN) 为整数时，从指定度分布 (p_k) 中抽样图的一种方法是：
1. 从集合 ({N_k, k = 0, 1, \ldots}) 中提取一个随机度序列 (K)。
2. 对相应的配置模型 A 进行抽样。 </