4、无标度网络的结构特性解析

无标度网络的结构特性解析

1. 图论基础与随机图模型

图论起源于18世纪欧拉的工作。在数学定义中，图是由顶点集 (V) 和边集 (E) 组成的对 ((V, E))。有向图中，边是有序对，表示从一个顶点指向另一个顶点。

随机图理论并非研究单个“随机图”，而是研究图的集合。其中，两个被广泛研究的图集合是 (G_{N,M})（具有 (N) 个顶点和 (M) 条边的所有图的集合）和 (G_{N,p})（具有 (N) 个顶点，每条可能的边以概率 (p) 存在的图的集合）。当 (M = \binom{N}{2}p) 且 (p) 不太接近 0 或 1 时，这两个集合相似，被称为 ER 图。

图的一个重要属性是平均度 (\langle k \rangle)，即每个节点连接的平均边数。(N) 顶点图中，若 (\langle k \rangle = O(N^0))，则称为稀疏图，后续主要关注稀疏图。

(G_{N,p}) 集合的许多属性都有相关的阈值函数 (p_t(N))。例如，存在一个巨型组件（一组相互连接的节点，其大小与 (N) 成正比）的属性，对于 ER 图，当 (\langle k \rangle > 1) 时存在巨型组件，(\langle k \rangle < 1) 时只有小组件，(\langle k \rangle = 1) 时会出现大小与 (N^{2/3}) 成正比的组件，这被称为“双跳跃”现象。另外，该集合中任意两个站点之间的平均路径长度约为 (\ln N)。

2. 无标度网络的特征

传统上，Erdős - Rényi 模型在随机图领域占主导地位。但对现实世界网络的研究表明，ER 模型无法重现许多观察到的属性