5、曲线拟合方法与程序实现

曲线拟合方法与程序实现

1. 引言

在工程实验中，工程师们会在实验室收集数据。为了有效利用这些数据，常常需要用特定的曲线对其进行拟合。例如，可能需要找到一个抛物线方程 $y = c_1 + c_2x + c_3x^2$ 来通过三个给定的点 $(x_i,y_i)$（$i = 1,2,3$），这就是精确曲线拟合问题。

有时，已知三个点本应落在一条直线上，但由于测量设备校准不佳或测试环境存在噪声等原因，它们并不在同一直线上。若要用直线方程 $y = c_1 + c_2x$ 来表示金属棒在弹性范围内拉伸试验收集的应力 - 应变数据，就需要确定系数 $c_1$ 和 $c_2$，而最小二乘法是常用的准则之一。

如果收集的数据代表时间的正弦函数，可假设曲线为 $x(t) = c_1\sin t + c_2\sin 3t + c_3\sin 5t + c_4\sin 7t$，通过线性组合 4 个奇数正弦项，并应用最小二乘法确定系数 $c_1 - c_4$。

对于一些特殊形式的曲线拟合，若能找到数学变换将曲线方程转化为线性方程，仍可应用最小二乘法准则。此外，三次样条方法也是常用的曲线拟合技术，它能导出平滑的三次方程，确保通过所有给定点时斜率和曲率连续。

接下来将讨论 ExactFit、LeastSq1、LeastSqG 和 CubeSpln 这四个程序的开发，以满足上述四种曲线拟合需求。

2. 精确曲线拟合

以找到通过三个给定点 $(x_i,y_i)$（$i = 1,2,3$）的抛物线方程 $y = c_1 + c_2x + c_3x^2$ 为例，这是精确曲线拟合问题。将三个点代入抛物线方程可得：
$c_1 + c_