12、无标度网络中最短路径结构的类别分析

无标度网络中最短路径结构的类别分析

1. 引言

复杂系统由众多元素构成，像社会系统中的个体、生物系统中的底物以及经济系统中的公司等。这些元素通过多样的相互作用和对自身创造模式的适应，展现出合作现象。可以用图来描述这类复杂系统，图由顶点和边组成，其中顶点代表元素，边代表元素间的相互作用。

早期，Erdős和Rényi（ER）提出了随机图模型。在该模型中，顶点数量N固定，边在顶点间随机连接。他们发现只需少量边（数量级为O(1/N)）就能使整个系统连通。不过，随机图理论虽具开创性，但无法描述近期观察到的现实网络。在图论中，度是一个重要概念，它指连接到某个顶点的边的数量，ER网络的度分布遵循泊松分布。

近年来，研究发现万维网的度分布遵循幂律：
[P_D(k) \sim k^{-\gamma}]
其中，k表示度，γ是度指数。呈现幂律度分布的网络被称为无标度（SF）网络。无标度网络在现实世界中广泛存在，如万维网（WWW）、互联网、引文网络、科学论文作者合作网络以及生物有机体中的代谢网络等。

为解释无标度网络的形成机制，Barabási和Albert（BA）引入了一个演化网络模型。在这个模型中，顶点数量N随时间线性增加而非固定，新引入的顶点以与所选顶点度成正比的概率连接到m个已存在的顶点，这被称为优先连接（PA）规则。此时，度指数遵循幂律，指数γ = 3。其广义版本将概率设定为与k + m(a - 1)成正比，其中a(> 0)是可调参数，度指数则为γ = 2 + a。

另外，还提出了一种静态模型。在该模型中，顶点数量N从一开始就固定，顶点用整数i（i = 1, …, N）索引。给每个顶点赋予权重$p_i = i^{-\alpha