13、常微分方程的数值解法与应用

常微分方程的数值解法与应用

1. 引言

在求解由常微分方程和初始条件所确定的未知函数时，有一个具有历史意义的例子，即从以下方程求解 (y(x))：
(\frac{dy}{dx}=y) 且 (y(0)=1)
我们都知道其解为 (y(x)=e^x)，实际上，指数函数 (e^x) 是由一个无穷级数定义的：
(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{x^i}{i!})
为了证明上述级数确实是满足方程的解，我们采用一个迭代的连续积分过程，使用计数器 (k)。首先，对上述方程两边关于 (x) 积分：
(\int_{0}^{x} \frac{dy}{dx} dx = \int_{0}^{x} y dx)
代入初始条件 (y(0)=1) 后，得到：
(y(x) = 1 + \int_{0}^{x} y dx)
数值上，我们可以先假设 (y(x)) 初始值（(k = 1)）等于 1，研究上述方程如何帮助我们得到下一个（(k = 2)）猜测的 (y(x))，并希望最终迭代过程能得到一个解。迭代方程为 (k = 1, 2, \cdots)：
(y_{k + 1}(x) = 1 + \int_{0}^{x} y_k dx)
结果是 (y(1) = 1)，(y(2) = 1 + x)，(y(3) = 1 + x + \frac{x^2}{2!})，最终答案就是上述的无穷级数。

我们真正要讨论的不是通过求解方程得到 (y(x)) 的解析表达式，而是当 (x) 以相等增量变化时，计算 (y(x)) 的数值。即对于选定的 (x) 增量 (