17、常微分方程数值解法全解析

常微分方程数值解法全解析

1. 常微分方程概述

常微分方程是涉及变量及其普通（而非偏）导数的方程。由于导数代表变化率，所以常微分方程在物理过程建模中经常出现。不过，许多实际中出现的微分方程并没有解析解。例如方程 $\frac{dy}{dx} = f (x,y)$，对于特定的 $f (x,y)$，可能无法将 $y$ 与 $x$ 的关系写成如 $y = x^2$ 或 $y = \sin x + \cos x$ 这样美观且方便的形式。

像 $\frac{v dv}{dx} = -g$ 这个方程，它模拟了物体在重力作用下的向下速度 $v$，有解析解 $v^2 = C - 2gx$，其中 $x$ 是离地面的高度，$C$ 是待确定的常数，$g$ 是重力常数。但像 $\frac{dy}{dx} + \sin y = 1 + \sin x$ 这样在半导体快速开关约瑟夫森结建模中出现的方程，就没有解析解。在没有解析解或者解析解不明显的情况下，我们会使用数值方法来求解。

常微分方程的阶由最高导数的阶定义。一般来说，$n$ 阶微分方程的解包含 $n$ 个任意常数，这些常数可以通过要求解满足 $n$ 个特定于应用的独立条件来确定。

常微分方程的问题主要分为两类：
- 初值问题：要求解在区间一端满足规定条件的微分方程。例如 $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \theta = 0$，$\theta(0) = \theta_0$，$\frac{d\theta}{dt}(0) = \theta_1$ 就是一个初值问题，它可以模拟摆的运动。
- 边值问题：要求解在区间两端都满足条件的微分方程。例如 $\frac{d^2y}{dx^2