19、松弛法在工程问题求解中的应用

松弛法在工程问题求解中的应用

1. 松弛法及程序Relaxatn简介

松弛法在求解由椭圆型偏微分方程支配的工程问题中十分有效，程序Relaxatn就是基于此方法开发的。椭圆型偏微分方程的一般形式为：
[
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y^{2}} = F(x,y)
]
其中，(\varphi) 被称为场函数，(F(x,y)) 被称为强迫函数。在二维稳态热传导问题中，场函数变为温度分布 (T(x,y))，强迫函数变为热源函数 (Q(x,y))。若温度分布仅受区域边界温度影响，即 (Q(x,y) = 0)，上述方程就简化为拉普拉斯方程：
[
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}} = 0
]
使用二阶中心差分公式来近似上述方程中任意点 (x = x_i) 和 (y = y_j) 处的二阶导数：
[
\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}\big| {x = x_i,y = y_j}=\frac{T {i + 1,j}-2T_{i,j}+T_{i - 1,j}}{\Delta x^{2}}
]
[
\frac{\partial^{2}T}{\partial y^{2}}\big| {x = x_i,y = y_j}=\frac{T {i,j + 1}-2T_{i,j}+T_{i,j - 1