52、常微分方程数值解法及自适应方法详解

常微分方程数值解法及自适应方法详解

1. 常微分方程问题及求解方法

1.1 多种常微分方程问题

这里涵盖了多种不同类型的常微分方程问题，下面为大家列举部分具有代表性的问题：
|问题编号|方程形式|初始条件|求解区间|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|22.1|$\frac{dy}{dt} = yt^2 - 1.1y$|$y(0) = 1$|$t = 0$ 到 $2$|
|22.2|$\frac{dy}{dx} = (1 + 2x)\sqrt{y}$|$y(0) = 1$|$x = 0$ 到 $1$|
|22.3|$\frac{dy}{dt} = -y + t^2$|$y(0) = 1$|$t = 0$ 到 $3$|

1.2 求解方法

针对上述问题，有多种求解方法可供选择，具体如下：
1. 解析法 ：通过数学推导得出方程的精确解。
2. 欧拉法 ：一种一阶数值方法，公式为 $y_{i + 1} = y_i + hf(t_i, y_i)$，其中 $h$ 为步长。
3. 中点法 ：先计算中点的斜率，再用该斜率更新 $y$ 值。
4. 四阶龙格 - 库塔法 ：精度较高的数值方法，公式为：
- $k_1 = hf(t_i, y_i)$
- $k_2 = hf(t_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2})$
- $k_3 = hf(t