冗余机器人和非冗余机器人发生奇异时雅克比矩阵秩的判断

最新推荐文章于 2023-05-02 17:23:02 发布
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分类专栏： 机器人学 文章标签： 雅克比矩阵
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本文探讨了在不同情况下如何处理非冗余及冗余机器人的雅克比矩阵，包括当矩阵不是方阵时如何求逆的问题。特别讨论了在机器人出现奇异现象时的解决方法。

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疑问:比如说雅克比矩阵J为6x2矩阵，任务维度也是2，那么要如何求逆呢 是不是也可以用广义逆的方法

如果雅克比矩阵J为6x4矩阵，但是一个对象在空间中是6个自由度，这又要怎么处理          

1.非冗余机器人

雅克比矩阵的秩小于其最大值时，det（J）=0。机器人出现奇异现象。

Ps：使用广义逆主要还是考虑到，雅克比矩阵并不一定是方阵。可能是长条形的比如6Xn矩阵

 

 

2.冗余机器人

雅克比矩阵的秩小于其任务维度m时，机器人发生奇异现象。

下图中的例子，是一个平面三连杆机器人，在平面上运动，机械臂自由度是n=3，任务维度是m=2

雅可比矩阵奇异求解
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xuuyann
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### 使用雅克比矩阵的转置替代逆的应用场景 在机器人学和控制理论中，特别是在处理冗余机械臂或欠驱动系统的运动规划时，常常会遇到求解雅克比矩阵的逆的问题。然而，在某些情况下直接计算雅克比矩阵的逆可能是不可行或是不稳定的。此时可以考虑使用雅克比矩阵的转置作为近似解决方案。 #### 应用场景 1. **力/扭矩反馈控制系统** 当需要通过末端执行器施加特定的力量或扭矩到环境中时，可以通过乘以雅克比矩阵的转置来转换这些外部作用力至关节空间中的等效力矩[^1]。 2. **速度映射** 对于具有多余自由度（DOFs）的机械手来说，当目标是实现某个期望的速度矢量v_d时，如果Jacobian是非方阵，则无法简单地取其逆；这时采用伪逆或者更简单的做法就是利用转置形式来进行速度映射操作. 3. **简化计算复杂度** 在一些实时应用场合下，为了减少在线运算时间并提高响应效率，可以选择用较为简便的方法——即使用雅克比矩阵的转置而不是精确求得其逆矩阵来进行快速估算[^2]. #### 优点 - **降低计算成本**: 计算雅克比矩阵的转置通常要比找到它的逆更加容易且耗时少得多。 - **数值稳定性好**: 特别是在接近奇异配置附近工作时，直接求逆可能会导致严重的数值不稳定现象，而转置方式则相对稳定许多。 #### 缺点 - **精度损失**: 虽然这种方法能够提供合理的估计值，但在某些特殊条件下它并不能完全准确地反映实际情况下的关系，尤其是在高度非线性的区域里表现不佳. - **仅适用于特定情况**: 此种方法的有效性和适用范围有限制条件，不是所有情形都适合用这种方式代替真正的逆变换过程。 ```python import numpy as np def jacobian_transpose_method(J, f_ext): """ 使用雅克比矩阵的转置将外力f_ext映射到关节空间. 参数: J (numpy.ndarray): n x m 的雅克比矩阵 f_ext (numpy.ndarray): 外部施加的m维力向量 返回: tau (numpy.ndarray): 关节处产生的n维力矩向量 """ # 将输入验证为数组 J = np.asarray(J) f_ext = np.asarray(f_ext) # 确保维度匹配 assert J.shape[1] == len(f_ext), "雅克比矩阵列数应等于外力向量长度" # 进行转置相乘得到关节力矩 tau = J.T @ f_ext return tau ```
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