32、确定性下推自动机：从理论到实现

确定性下推自动机：从理论到实现

1. 证明状态不变式成立

在研究确定性下推自动机（DPDA）时，证明状态不变式的成立是非常重要的。对于一个自动机 $M$，当它接受输入 $v$ 时，我们需要证明状态不变式是成立的。这里采用归纳法来证明，需要证明在机器开始（未消耗任何输入）时 $S - INV$ 成立，并且在每次转换后不变式仍然成立。
- 基础情况 ：当 $M$ 开始时，$ci = ‘()$ 且 $s = ‘()$，这意味着 $ci$ 只包含 $a$ 和 $b$，并且 $ci$ 等于 $s$ 的逆序，所以 $S - INV$ 成立。
- 消耗输入的转换 ：
- $((S a, EMP) (S (a)))$：根据归纳假设 $S - INV$ 成立，即 $ci \in {a, b}^ $ 且 $ci = s^R$。使用此规则后，消耗的输入只包含 $a$ 和 $b$，且消耗的输入等于栈的逆序，所以 $S - INV$ 成立。
- $((S b, EMP) (S (b)))$：同理，使用此规则后，$S - INV$ 仍然成立。
- $((S c, EMP) (F, EMP))$：根据归纳假设 $S - INV$ 成立，使用此规则后，$ci = xycy^R$，其中 $x \in {a, b}^ $ 且 $y = ‘()$，栈为 $x^R$，所以 $F - INV$ 成立。
- $((F a (a)) (F, EMP))$：根据归纳假设 $F - INV$ 成立，使用此规则后，$ci = x’aycy^Ra = x’ayc(ay)^R$ 且栈为 $x’^R$，所以 $F - I