15、布尔自动机网络的分解与组合框架

布尔自动机网络的分解与组合框架

1. 基础定义

在布尔自动机网络（BAN）的研究中，有一些基础的定义和概念。首先，我们用 (B = {0, 1}) 表示布尔值集合。对于一个包含 (m) 个元素的序列 (K)，从第 (i) 个元素到第 (j) 个元素的子序列记为 (K[i,j])。有时我们会用 (a \mapsto b) 这种符号来定义函数，例如 (n \mapsto 2 \times n) 表示一个将输入 (n) 乘以 2 的函数。

BAN 基于一组自动机，每个自动机被定义为一个布尔函数，其元数等于网络的大小。函数的每个变量对应网络中的一个自动机。通过考虑网络上的布尔值配置，我们可以计算每个自动机的布尔函数，得到每个自动机的布尔值（即局部状态），这些值可用于更新网络的全局状态，也就是配置。

更新模式有两种：
- 并行更新 ：同时更新每个自动机的值。
- 顺序更新 ：在每个时间步只更新一个自动机的值。

下面是一些重要的定义：
- 定义 1 ：集合 (S) 上的配置是一个函数 (x : S \to B)。
- 定义 2 ：对于集合 (S)，布尔自动机网络（BAN）(F) 是一个函数 (F : S \to (S \to B) \to B)。对于每个 (s \in S)，我们用 (f_s = F(s)) 表示自动机 (s) 的局部函数。
- 定义 3 ：任何 (\delta \subseteq S) 都是 (S) 上的一个更新。 <