20、加权自动机与加权逻辑：深入解析

加权自动机与加权逻辑：深入解析

1. 可识别阶梯函数的性质

可识别阶梯函数在加权自动机和加权逻辑的研究中具有重要地位。相关引理表明：
- 所有关于字母表 Σ 和半环 S 的可识别阶梯函数类在求和、标量积和哈达玛积运算下是封闭的。
- 若 h : Σ∗→Γ ∗ 是一个同态，那么 h−1 : S⟨⟨Γ ∗⟩⟩→S⟨⟨Σ∗⟩⟩ 能保持可识别阶梯函数。

例如，设 r = ∑ni=1 si · 1Li 是一个可识别阶梯函数，其中 Li ⊆ Γ ∗ 是可识别语言。那么每个语言 h−1(Li) ⊆ Σ∗ 也是可识别的，所以 h−1(r) = ∑ni=1 si · (1Li ◦ h) = ∑ni=1 si · 1h−1(Li) 同样是可识别阶梯函数。

2. 加权逻辑的引入

我们固定一个半环 S 和一个字母表 Σ。对于每个 a ∈ Σ，Pa 表示一个一元谓词符号。加权MSO - 逻辑公式的语法由以下文法给出：

ϕ ::= s | Pa(x) | ¬Pa(x) | x ≤ y | ¬(x ≤ y) | x ∈ X | ¬(x ∈ X)
| ϕ ∨ ϕ | ϕ ∧ ϕ | ∃x.ϕ | ∃X.ϕ | ∀x.ϕ | ∀X.ϕ

其中 s ∈ S 且 a ∈ Σ，我们用 MSO(S, Σ) 表示所有此类加权MSO - 公式 ϕ 的集合。

由于在定义一般公式的否定语义时存在困难，我们将否定限制在原子公式上，其语义在 S 中仅取值 0 和 1，这样原子公式的否定取值为 1 和 0。当 S = B（布尔半环）时，我们的加权MS