13、实时多计数器自动机计数器的最小有用规模

实时多计数器自动机计数器的最小有用规模

1. 引言与预备知识

在复杂性理论中，研究必要资源的最小量是一个基本方向。根据空间层次定理，空间 $s(n)$ 的微小增加能解决之前无法解决的新问题。若函数 $s_2(n)$ 比 $s_1(n)$ 增长更快，则存在能以 $s_2(n)$ 空间界限接受，但不能以 $s_1(n)$ 空间界限接受的语言。

空间复杂度有强空间界限和弱空间界限之分：
- 强空间界限 $s(n)$ 指所有长度为 $n$ 的输入在任何计算路径上使用的空间。
- 弱空间界限 $s(n)$ 指所有被接受的长度为 $n$ 的输入在一个接受计算路径上所需的最小空间。

不过，在 $s_2(n) = \log \log n$ 和 $s_1(n) = 0$ 之间存在差距：每个以低于 $\log \log n$ 空间接受的语言必然是正则的，因此，大小受 $o(\log \log n)$ 限制的工作带是无用的。这一结果从双向确定性图灵机的强空间界限开始逐步改进，最终扩展到双向交替机的弱空间界限。

一元语言需要特别关注，因为它们可能需要与基于通用（或二进制）字母表构建的语言不同的资源。这是因为识别器在空间不足时难以记住输入头位置，且输入缺乏结构。第一个以强空间界限 $O(\log \log n)$ 确定性接受的一元非正则语言已被提出。使用 $O(\log \log n)$ 空间的双向交替机实际上可能非常强大，例如，它们可以识别一些一元语言，其二进制编码版本是 PSPACE 完全的。

对于接受非正则语言的单向机，最小空间界限有所不同：
- 具有强空间界限的确定性、非确定性和交替机，以及具有弱空间界限的确定性机，最小空间界限