13、实时多计数器自动机计数器的最小有用大小

实时多计数器自动机计数器的最小有用大小

1. 引言与预备知识

在复杂度理论中，研究必要资源的最小量是一个基础方向。根据空间层次定理，当空间 $s(n)$ 有小幅度增长时，就能解决之前无法解决的新问题。这里存在两种空间界限的概念：
- 强空间界限 ：指在长度为 $n$ 的所有输入上，任何计算路径所使用的空间。
- 弱空间界限 ：指在长度为 $n$ 的所有被接受输入上，接受计算路径所需的最小空间。

不过，在 $s_2(n) = \log \log n$ 和 $s_1(n) = 0$ 之间存在一个差距。任何使用低于 $\log \log n$ 空间接受的语言必然是正则语言，这意味着大小受 $o(\log \log n)$ 限制的工作带是无用的。这个结论从双向确定性图灵机的强空间界限开始逐步改进，最终扩展到双向交替机的弱空间界限。

对于一元语言，由于识别器可能没有足够空间记住输入头位置，且输入缺乏结构，所以它们可能需要与一般（或二进制）字母表构建的语言不同的资源。例如，第一个使用 $O(\log \log n)$ 强空间界限确定性接受的一元非正则语言就有相关研究。

不同类型机器接受非正则语言的最小空间界限如下表所示：
| 机器类型 | 空间界限 |
| ---- | ---- |
| 具有强空间界限的确定性、非确定性和交替机器，以及具有弱空间界限的确定性机器（单向） | $\log n$ |
| 具有弱空间界限的非确定性和交替机器（单向） | $\log \log n$ |

即使要求实时计算（即机器在每个计算步骤中