14、计数器自动机的有限非确定性层次结构与明确自动机的有限序列性研究

计数器自动机的有限非确定性层次结构与明确自动机的有限序列性研究

1. 计数器自动机路径权重与循环特性

在计数器自动机的研究中，我们首先关注路径权重和循环的特性。对于一个字符串 $w$，其权重等于 $n^k$，这意味着每条路径 $\pi_i$ 的权重至少为 $n^k$。所有循环 $\pi_{i,j}^{(2)}$ 的长度至多为 $n^k$。我们将循环分为两类：
- 增长循环 ：如果在循环 $\pi_{i,j}^{(2)}$ 中，存在一个计数器在循环过程中递增且未被重置，那么这个循环就是增长循环。
- 非增长循环 ：反之，如果不存在这样的计数器，那么这个循环就是非增长循环。

非增长循环 $\pi_{i,j}^{(2)}$ 的多次迭代，对其子路径 $\pi_{i}^{(2)}$ 权重的增加量至多为 $|\pi_{i}^{(2)}| - 1$，且与迭代次数无关。而增长循环的迭代会使结果路径的权重至少增加 $l_{i,j}$，其中 $l_{i,j}$ 是应用于 $\pi_{i,j}^{(2)}$ 的迭代次数。

对于每一个 $\alpha \in {0, \ldots, k}$，表示 $w$ 中包含 $a_{n^k}^{\alpha}$ 的部分，存在 $i = i(\alpha)$，它索引了组件 $\tilde{M} i$ 的编号以及由 $w$ 标记的第 $i$ 条接受路径。对于每一个 $j \in {0, 1, \ldots, k}$，如果 $\alpha \neq j$，那么路径 $\pi {i,j}^{(2)}$ 是非增长的。否则，可能存在 $\alpha$，使得对于所