13、自动机状态等价性与计数器自动机非确定性层次研究

自动机状态等价性与计数器自动机非确定性层次研究

1. 自动机状态等价性概率分析

在自动机的研究中，状态的等价性是一个重要的概念。对于自动机的状态等价概率，有如下的分析：

1.1 状态等价概率公式推导

在特定的自动机情境下，对于状态 (2i + 1) 与其他状态 (q) 等价的概率 (P(E_i)) 有如下推导：
[
\begin{align }
P(E_i) &= \frac{1}{2(2i + 3)^2}P(2i + 1 \sim_e 1) + \sum_{l = 1}^{i - 1}\frac{1}{2(2i + 3)^2}P(2i + 1 \sim_e l) + \sum_{j = 1}^{i - 1}\left(\frac{j + 1}{(2j + 3)(2i + 3)}\right)^2 - \text{small term}\
&\sim \frac{i}{2(2i + 3)^2} + \frac{1}{(2i + 3)^2}\sum_{j = 1}^{i - 1}\left(\frac{j + 1}{2j + 3}\right)^2\
&\leq \frac{3i + \ln(i) + C}{4(2i + 3)^2}\
&\leq \frac{4i}{4(2i + 3)^2} \quad (i < n)
\end{align }
]
当 (i = n) 时，有 (P(E_n) \sim \frac{n}{2(2n + 1)^2} + \frac{1}{(2n + 1)^2}\sum_{j = 1}^{n - 1}\