17、算法概念、正确性证明与图灵机模型解析

算法概念、正确性证明与图灵机模型解析

1. 算法的基本概念

算法是一种精确的规定，它决定了从不同的源数据到所求结果的计算过程，数据是字符的有序集合。简单来说，算法描述了特定的计算程序，用于解决某一类问题，而非单个特定问题。“算法”一词源于中世纪数学家花拉子米（al - Khwarizmi）的名字。

算法具有以下基本属性：
1. 离散性 ：算法应将解题过程表示为一系列独立步骤的连续执行。每个步骤的执行需要一定时间，且每个操作必须完整执行，不能部分执行。
2. 步骤的基本性 ：每个命令的执行方法应已知且足够简单。
3. 确定性 ：算法操作的每个后续步骤都是唯一确定的。对于相同的源数据，结果应相同。
4. 方向性 ：应明确什么被视为算法操作的结果。
5. 通用性 ：应能够将算法应用于某个预定集合中的所有源数据集合。

2. 算法正确性的证明

在使用算法解决计算问题时，需要证明算法对于所有输入数据都能正确解决问题，即证明算法的正确性。从数学角度看，这涉及确定描述变量值的某些谓词的真值。

设 (P) 是对于算法 (A) 的输入数据为真的谓词，(Q) 是在算法 (A) 操作完成后取真值的谓词。(P) 和 (Q) 分别称为前置条件和后置条件。命题 ({P}A{Q}) 表示：“如果算法 (A) 的操作从谓词 (P) 的真值开始，那么它将以 (Q) 的真值结束”。算法 (A) 的正确性证明等价于证明 ({P}A{Q})