5、计算模型：从图灵机到电路的深入解析

计算模型：从图灵机到电路的深入解析

1. 概率图灵机

概率图灵机是在确定性图灵机基础上引入随机输入的计算模型。对于概率图灵机 $M$，我们用 $M(x; r)$ 表示在输入 $x$ 和随机掷币序列 $r$ 下的输出，其中 $r$ 是长度为 $rl(λ)$ 的随机字符串。$M(x)$ 则描述了输出分布，通过均匀采样 $r$ 并输出 $M(x; r)$ 得到。我们可以用 $Pr[y = M(x)]$ 表示在随机掷币 $r$ 的选择下，机器 $M$ 在输入 $x$ 时返回 $y$ 的概率。

概率图灵机的运行时间也很关键。我们可以像定义确定性图灵机运行时间一样，定义概率图灵机的运行时间，记为 $time_M(x; r)$，以及 $time_M(λ) = \max_{(x,r)∈{0,1}^λ×{0,1}^{rl(λ)}} time_M(x; r)$。如果这个运行时间是多项式的，我们就称该机器是高效的，或者说是概率多项式时间（PPT）图灵机。

需要注意的是，如果概率图灵机 $M$ 在输入长度 $|x|$ 上以多项式时间 $p(λ)$ 运行，那么它在计算过程中最多可以进行 $rl(λ) ≤ p(λ)$ 次掷币。每对 $(x; r)$ 的长度最多为 $q(λ) = λ + p(λ)$，这也是关于 $λ$ 的多项式。因此，$|(x; r)|$ 上的多项式运行时间意味着 $|x|$ 上的多项式运行时间，尽管是不同的多项式。这凸显了 $rl(λ)$ 多项式有界的重要性，如果图灵机能够消耗指数级的随机比特，例如 $rl(λ) = 2^λ$，那么 $|(x; r)|$ 上的多项式运行时间不一定意味着 $|x|$ 上的多项式时间。

2. 交互式图灵机

在密码学中