6、非线性控制原理：微分平坦性及其应用

非线性控制原理：微分平坦性及其应用

1. 引言

在非线性控制领域，寻找有效的方法来解决复杂系统的控制问题一直是研究的重点。早期，Hilbert提出了一种不基于积分计算的解决方案，该方案与通过一组称为“无积分可逆”的变换对欠定微分方程系统进行分类有关。随后，Èlie Cartan对Hilbert提出的问题进行了重新研究，展示了如何通过对Pfaff系统的计算来分类允许无积分解的二阶Monge方程，并推导出了欧几里得空间 $R^3$ 中曲率比和扭转常数的所有曲线的显式描述。这些早期的研究为后续非线性控制理论的发展奠定了基础。

2. 有限维系统的微分平坦性

2.1 微分平坦性的定义

微分平坦性是一类非线性动态系统的结构特性，它表示所有系统变量（如状态向量元素和控制输入）都可以用一组特定变量（即所谓的平坦输出）及其导数来表示。考虑以下非线性系统：
$\dot{x}(t) = f (x(t), u(t))$
其中，时间变量 $t \in R$，状态向量 $x(t) \in R^n$，初始条件为 $x(0) = x_0$，输入变量 $u(t) \in R^m$。

一个有限维系统若满足以下两个条件，则被称为微分平坦系统：
1. 不存在形如 $R(y, \dot{y}, \ldots, y^{(\beta)}) = 0$ 的微分关系，这意味着平坦输出的导数在常微分方程（ODE）意义上是不耦合的，即平坦输出是微分独立的。
2. 所有系统变量（即系统状态向量 $w$ 的元素和控制输入）都可以仅用平坦输出 $y$ 及其时间导数表示，即 $w_i = \psi_i(y, \dot{y}, \ldots, y^{(\ga