67、基于全局线性化的工业与偏微分方程系统控制：股票贷款应用案例

基于全局线性化的工业与偏微分方程系统控制：股票贷款应用案例

1 引言

在控制和金融工程领域，对股票贷款偏微分方程（PDE）的有效控制至关重要。通过边界控制，可稳定股票贷款PDE的动态，使其收敛到理想的参考水平，这为股票贷款市场的稳定提供了重要工具和政策依据。

2 股票贷款估值的动态模型

2.1 基本原理

股票贷款中，贷款价值取决于股票价值，而股票价值随时间变化遵循Black - Scholes PDE。其变化类似于美式看涨期权。在贷款合同期内，股价上涨时借款人可还款取回股票获利；股价下跌时，贷款人可归还股票退出贷款并收回款项，降低损失风险。

2.2 随机微分方程描述

股票价值的变化由以下随机微分方程描述：
[dS = (r - \delta)Sdt + \sigma SdW_t]
其中，(dW_t) 是 (t \in [0, \infty)) 上的维纳过程，(r \geq 0) 是利率，(\delta) 是连续股息收益率，(\sigma) 是股票波动率。假设 (t = 0) 时客户以利率 (\gamma) 从贷款人处借款 (q)，初始股票价值为 (S_0)，并支付服务费 (c)。则 (t \geq 0) 时，借款人欠款 (qe^{-\gamma t})。

2.3 偏微分方程推导

利用伊藤引理和无套利机会原理，股票贷款价值 (V) 相对于股票价值 (S) 的变化遵循以下偏微分方程：
[\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\p