5、非线性系统控制中的线性化方法及微分平坦理论

非线性系统控制中的线性化方法及微分平坦理论

在非线性系统的控制中，为了更方便地分析和设计控制器，常常需要将非线性系统进行线性化处理。本文将介绍几种常见的线性化方法，包括输入 - 状态线性化、输入 - 输出线性化，以及动态扩展方法，还会引入微分平坦理论。

1. 输入 - 状态线性化

输入 - 状态线性化是一种获得非线性动态系统线性化等效描述的方法。对于非线性系统 $\dot{x} = f (x) + g(x)u$，若存在一个微分同胚 $T : D_x \Rightarrow R^n$，使得 $D_x = T(D_x)$ 包含原点，并且变量变换 $z = T(x)$ 能将系统转化为 $\dot{z} = Az + B\beta^{-1}(x)[u - \alpha(x)]$ 的形式，则称该系统是输入 - 状态可线性化的。

对于单输入系统 $\dot{x} = f (x) + g(x)u$，其输入 - 状态可线性化的充要条件如下：
- 定理 ：该系统输入 - 状态可线性化的充要条件是存在一个区域 $D_x \subset D$，使得矩阵 $G(x) = [g(x), ad_f g(x), \cdots, ad^{n - 1}_f g(x)]$ 对于所有 $x \in D_x$ 的秩为 $n$，并且分布 $D = span{g, ad_f g, \cdots, ad^{n - 2}_f g}$ 在 $D_x$ 中是对合的。
- 证明思路 ：
- 系统输入 - 状态可线性化等价于存在一个实值函数 $h(x)$，使得系统 $\dot{x} = f (x) + g(x)u$，$y = h(