7、非线性控制原理与微分平坦系统详解

非线性控制原理与微分平坦系统详解

1. 轨迹规划与系统对称性

在某些系统中，轨迹规划与系统的对称性密切相关。例如，对于一些方程：
[
\begin{cases}
\dot{x}_1 = u_1 \
\dot{x}_2 = u_2u_1 \
\dot{x}_3 = x_2u_1
\end{cases}
]
这些方程在 (u_1) 上是线性的。通过变换 (t \to \tilde{t} = \sigma(t)) 和 (u_1 \to \tilde{u}_1 = \frac{u_1}{\dot{\sigma}(t)})，仅改变时间 (t) 和控制输入 (u)，方程保持不变。并且，利用 (t \to (\sigma(t), \frac{dp}{d\sigma}(\sigma(t)), p(\sigma(t)), \dot{\sigma}(t), \frac{d^2p}{d\sigma^2}(\sigma(t)))) 可以在整个时间范围内扩展 (t \to \varphi(y(t), \dot{y}(t), \ddot{y}(t)))。

2. 闭环系统状态反馈控制与等价性

考虑两个系统：
[
\begin{cases}
\dot{x} = f(x, u), (x, u) \in X \times U \subset R^n \times R^m \
\dot{y} = g(y, v), (y, v) \in Y \times V \subset R^r \times R^p
\end{cases}
]
它们分别对应系统 ((X \time