例2.3 Ackerman函数双递归实现

Ackerman 函数。并非一切递归函数都能用非递归方式定义。为了对递归函数的复杂性有更多的了解，我们再介绍双递归函数-Ackerman 函数。当一个函数及它的一个变量由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。Ackerman 函数 A(n,m)有两个独立的整型变量m≥0 和n≥0，其定义如下：

数学归纳法证明哈克曼函数算法复杂度：

A(n,m)的自变量m 的每个值都定义了一个单变量函数。例如，递归式的第了式表示 m=0

定义了函数“加2”。

当m-1 时，由于A(1,1)=A(A(0,1),0)=A(1,0)=2，以及 A(n, 1)=A(A(n-1,1), 0)-A(n-1,1)+2

(n>1）,因此A（n,1)=2n（n≥1），即A(n，1)是函数“乘2”。

A(n,2)=21

当m=-2 时，40,2)=464（2-1,2），1)=24(0-1,2)， 4(1,2)=4（4(0,2), 1)=4(1，1)=2，故

类似地可以推出，4(（2,3)=222

其中2的层数为 n.

4(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数

单变量的 Ackerman 两数 A(n)定义为 4（n=4（n,n)。其拟逆西数a(n)在算法复杂性分析中

会遇到。它定义为：a(n=min fRA（)三吗)，即a(n是使n≤AC成立的最小的人值。

例如，由 40=1,41=2,4（2)=4 和 4(3)=16推知，a(1)=0,c(2)=1,c(3)=a(4)-2 和 a(5)=

=Q(16)=3。可以看出，a(n）的增长速度非常慢。

4④=222

〈其中2的层数为 65536）的值非常大，无法用通常的方式水表达它。如果要

写出这个数将需要 10g（4（4）位，即22°

65535层2的方幂）位。所以，对于通常见到的正

整数n，我们有cn≤4。但在理论上，a(n)没有上界，随着n的增加，它以难以想象的速度

趋向正无穷大。