P2048 [NOI2010] 超级钢琴

原题链接

难绷此题最优解是输出样例。

题意简化： 给你长度为 $n$ 的序列，从中选出 $k$ 个不重复的长度在 $[L,R]$ 间的区间，使选出的区间总和最大，输出最大值。

首先算区间和肯定要用前缀和，但是暴力找出所有区间然后排序求解是不可行的，考虑优化。

对于一个位置 $i$，如果我们令它为所选区间左端点，那么右端点所属区间应为 $[i+L-1,min(n,i+R-1)]$，设 $t$ 为某个右端点，则区间和为 $su{m}_t-su{m}_{i-1}$，$i-1$ 固定，只需要最大化 $su{m}_t$，用 st 表可以快速维护。

然后我们就可以用优先队列维护形如 $(i,l,r,t)$ 的四元组，$i$ 为左端点，$l,r$ 为右端点所在区间，$t$ 为 $sum$ 值最大位置。然后当我们取出了 $(i,l,r,t)$，还要考虑 $[l,t-1]$ 和 $[t+1,r]$ 右端点区间的新的贡献，注意特判 $t=l$ 或 $t=r$ 的情况。

时间复杂度 $O(nlogn)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rd read()
#define ll long long
#define FOR(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define ROF(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
const int N=5e5+10;
int n,k,L,R,a[N],s[N],f[N][20];ll ans;
struct node{
	int o,l,r,t;
	friend bool operator <(const node &T,const node &U){
		return s[T.t]-s[T.o-1]<s[U.t]-s[U.o-1];
	}
};
priority_queue<node> q;
int cmp(int x,int y){if(s[x]>s[y])return x;else return y;}
int query(int l,int r){
	int t=log2(r-l+1);
	return cmp(f[l][t],f[r-(1<<t)+1][t]);
}
int main(){
	n=rd,k=rd,L=rd,R=rd;
	FOR(i,1,n) a[i]=rd,s[i]=s[i-1]+a[i];
	FOR(i,1,n) f[i][0]=i;
	FOR(i,1,floor(log2(n+1))) FOR(j,1,n){
		if(j+(1<<i-1)>n) continue;
		f[j][i]=cmp(f[j][i-1],f[j+(1<<i-1)][i-1]);
	}
	FOR(i,1,n){
		int l=i+L-1,r=min(i+R-1,n);
		if(l>n) continue;
		int t=query(l,r);q.push(node{i,l,r,t});
	}
	while(k--){
		int o=q.top().o,l=q.top().l,r=q.top().r,t=q.top().t;q.pop();
		ans+=s[t]-s[o-1];
		if(l!=t){
			int nl=l,nr=t-1,nt=query(nl,nr);
			q.push(node{o,nl,nr,nt});
		}
		if(r!=t){
			int nl=t+1,nr=r,nt=query(nl,nr);
			q.push(node{o,nl,nr,nt});
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}