浅谈割边及边双连通分量(e-dcc)

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已于 2024-10-09 16:15:37 修改 · 1.6k 阅读

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#算法 #c++ #数据结构 #图论 #边双连通分量 #e-dcc #割边

于 2024-09-23 17:18:14 首次发布

前置知识：强连通分量、图论相关概念、一些tarjan算法的基础

在图论中，与连通性相关的问题非常多。对于无向图，有诸如割点、割边、圆方树、双连通分量等等各种概念及算法。

那么割边是什么？对于无向图，若删掉一条边后，这张图的连通分量数增加了，那么这条边便是割边。

一.如何求割边:

我们仍然可以用 $t a r jan$ 算法，对于无向图的 $df s$ 生成树，我们用 $dfn_y$ 表示 $y$ 的时间戳，用 $low_y$ 表示不经过 $y$ 的父节点能到达的时间戳最小的节点，即生成树中 $y$ 能到达的最远的祖先。若 $low_y>dfn_x$ ，则说明 $y$ 能通过其他边到达其父节点或父节点的祖先，那么边 $(x, y)$ 便不是割边，否则就是割边。

非常简单的模版题

对于此题，可以枚举删哪条边，然后用并查集维护连通性，时间复杂度 $O(nm^2)$ 。
然而再简化此题题意，让我们求出：删除哪条边能使图的连通分量数增加，还是无向图。这不就是求割边吗？因此我们用 $t a r jan$ 算法就可以 $O (n + m)$ 地解决此题了，时间复杂度优化了不止一点。
在此贴上代码，就当做求割边的模版了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10010;

int read(){
   
   
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
   
   
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}

int n,m,head[N],tot=1;
int dfn[N],low[N],tim,cnt;
struct Node{
   
   
	int x,y;
	bool operator<(const Node &a)const{
   
   
		if(x!=a.x) return x<a.x;
		return y<a.y;
	}
}bri[N];

struct node{
   
   
	int to,nxt;
}edge[N*2];
void add(int x,int y){
   
   
	edge[++tot].to=y;
	edge[tot].nxt=head[x];
	head[x]=tot;
}
//tarjan求割边
void tarjan(int x,int in_edge){
   
   
	dfn[x]=low[x]=++tim;
	for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
   
   
		int y=edge[i].to;
		if(!dfn[y]){
   
   
			tarjan(y,i);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[y]>dfn[x]) bri[++cnt]={
   
   x,y};
		}
		else if(i!=(in_edge^1)) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}

int main(){
   
   
	
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
   
   int x=read(),y=read();add(x,y),add(y,x);}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
	sort(bri+1,bri+1+cnt);
	for(int i=1;i<=cnt;i++) cout<<bri[i].x<<" "<<bri[i].y<<endl;
	
	return 0;
}
</

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