summ1ts的博客

前言：洛谷题单（非本人整理）本篇文章为下期（收录题目 O–>Z\text{O-->Z}O–>Z），题目比较有思维难度，值得一做。O题观察题目数据范围，允许状态压缩。设 fi,sf_{i,s}fi,s​ 表示右部中的点，与左部中 iii 个点构成匹配的集合为 sss 的方案数，答案为 fn,(1<<n)−1f_{n,(1<<n)-1}fn,(1<<n)−1​。考虑如何转移，当构成匹配集合为 sss 时，我们发现二进制表示下 111 的数量（即

但是这是错的，不过只要随机若干次，一定能得到正确的操作序列。因为答案也是对原来的密码锁进行若干次操作，所以随机化是对的。直接开二维数组记录是不可行的，由于每一次操作会覆盖整行整列，所以开两个数组，分别存储行、列的颜色。，考虑一个简单的贪心，把全局最大值和全局最小值分别放在不同行，然后每一行的贡献就可以直接算了。再思考正解，我们走的路径是不是也有某些特殊性质，来简化运算？时的最小路程，输出方案，记录从哪个状态转移过来即可。的情况时顺便判断即可，最后答案减去这些数。，还不知道，是给暴搜加剪枝的分？

洛谷题单（非本人整理）有一些好写的题就不贴代码了，细节较多的再放上。本篇文章为上期（收录题目A–>NA–>N），题目较为基础，进阶题目放在下期讲解（目前还在咕咕咕）。A题非常简单的方程。fimin⁡fi−1∣hi−hi−1∣fi−2∣hi−hi−2∣fi​minfi−1​∣hi​−hi−1​∣fi−2​∣hi​−hi−2​∣，递推一下就行了。B题。

答案是可以的，因为只有出现所有非特殊栈放满后，才会去找，而下一次再出现这种情况的位置，一定不会和之前重合，所以最多只会循环。再想，C、F 一定是由竖着的线段和横着的线段组成，把它们找到然后计算即可，计算的式子很好推。线段树查询，标记与信息的合并是好做的，关键是标记与标记的合并。左边第一个大于它的数之后，这是一段后缀，我们会进行区间赋值操作，然后将。节点是否建造军营的方案数，发现很难转移，所含的状态太多了。个数放完了，还有一个多出来的数，考虑这个数的归宿。，我们找到在它之后的最先出现在某个栈的底部的数。

没参加，作为场外选手也来浅做一下。

所给代码只过了民间数据，可能与实际成绩略有出入。

开始往左扫，把此时扫到的和加在桶里，然后从右扫，查找当前和的负数的出现次数，然后计算贡献。对于这样的题，一般考虑枚举中位数，计算它所产生的贡献。对于此题，设此时中位数为。的同理，只会变的更小。这说明原序列的单调性是不变的，就允许我们进行二分。所以先把原序列升序排序，然后两次二分分别求出第一个大于等于。对此如何计算，我们可以枚举一棵树中的边。边，这两个可以一起算。的位置，这道题就做完了。的数，经过变化后只会变的更大，，若这四点均不相同，则概率为。边，考虑一棵树中一边。，所以考虑换一种思路。

若最小字符等于最大字符，由于字符串长度相同，且字符串两两不同，所以次小的一定大于另一个次大的，依然不可行，由此得证。暴力的 dp 做法似乎没有什么优化的余地了，对正解也没什么启发，但我们将其抽象为一个网格图，发现了什么？这样的转化看似影响不大，但我们再去看 Subtask 8~14，由于其特殊性质，发现只要。其中红格都是我们能到的地方，如果不理解的话一定要手动画图去体会一下，这是最关键的部分。的情况，注意处理数组越界的情况，就可以了。的数据范围很小，所以真正有用的位置并不多，只有一个区间的。

而矩阵乘法的运用很多，最常用的便是加速递推，可以用其优化 dp（例如动态 dp）等等。最经典的便是斐波那契数列的应用，首先把原线性递推式转化为矩阵，然后用矩阵快速幂即可解决。为了方便进行运算，我们会把矩阵设为二维数组，放在结构体里面，并重载运算符。由于矩阵也有乘法，那自然也有矩阵的快速幂，写法与普通快速幂同理。矩阵的加减法和数乘为线性运算，均为逐个元素进行运算。矩阵乘法要求两个矩阵的行数和列数相等，设。然后套个矩阵加速幂就可以了。这是我的矩阵加减乘法的模版。

为 CSP-S 和 NOIP 做准备，所以做的题难度并不是非常大，通常以绿蓝题为主。

①：本题的反悔贪心可以再细讲一下，首先比较简单的贪心策略是我们想每次都选一个最大子段和，然后把这段删去，然后再去找一段，而这也显然是错的。对此我们考虑反悔自动机，此题的策略即为上述所说，我们通过巧妙的构造差值，使得最终得以达到反悔的目的，而这个操作需要我们用线段树来维护，最终此题的解法就出来了。若有交集，那么它们相交的部分在之前加了一次，在这一次又减掉，说明它不是最优的，被我们反悔掉了，并且此时两区间仍然不相交，依旧符合题意。个数组分别维护，由于我们枚举的位置的单调性，这个复杂度是做到可以线性的。

这个时候就可以考虑线段树合并了，我们对每个节点都开一颗以颜色为下标的线段树，维护颜色出现的最大次数及出现最多的颜色，而这两个操作非常简便。线段树合并是指建立一棵新的线段树，这棵线段树的每个节点都是两棵原线段树对应节点合并后的结果。由此，它多被用于维护树上或图上的信息，只要灵活选好每个点上线段树的下标含义，维护的信息，可以帮助你切掉许多困难的题。题目过水，代码就不贴了。，有用树上启发式合并来做的，但你发现，这道题线段树合并直接切掉了，甚至都没几十行代码。的所有儿子的线段树合并到它的线段树上，这道题就解决了。

CDQ 分治是离线算法，可以解决一些与点对有关的问题，也可以将动态问题转为静态。在此题中，我们有三个维度。求解三维偏序问题的方法很多，我用的是 CDQ 分治，比较好写，但时间复杂度会劣一些。，先分别递归处理左右两个子区间，然后再考虑跨区间的贡献。两维都满足了，我们可以开一个值域树状数组，用以维护。②：进入 CDQ 分治，设此时处理区间为。从小到大排序，这样满足任意。

在图论中，与连通性相关的问题非常多。对于无向图，有诸如割点、割边、圆方树、双连通分量等等各种概念及算法。那么割边是什么？对于无向图，若删掉一条边后，这张图的连通分量数增加了，那么这条边便是割边。

匈牙利算法或 dinic 算法均可。然后就可以看下文了。

细心观察，发现这几道题都考察了筛法相关知识，但数据范围巨大，即便是线性筛、杜教筛也无法解决。但给定的区间长度却可以接受，所以就出现了比较巧的做法。

另外，Lucas 定理也有适用范围，它一般适用于模数并不是很大（一般是小质数，范围在。的范围不是很大的情况，而限制没有，即方便写高精度，也可以对任意模数取模，唯一缺点便是时间复杂度为。，在取模的意义下，除一个数等于乘它的逆元，我们就可以线性求出阶乘逆元，然后。我们上文说了逆元求组合数需要模上一个质数，那么在模数任意的情况下如何求解？（斯特林数，如果不知道的话很难推出来，可以学一学）的方案，根据加法原理，令它们相加就得到了。（梦回高中数学，需要推出式子，然后高精度求）非常大，模数非常小，的情况。

今天跟着南外复习的图论，十道题，感觉质量不错，就拿出来总结一下。

的形式，前缀和后缀相等，很自然的想到 kmp 算法。我们枚举起点，然后从起点开始跑 kmp，对于每个位置的 nxt 数组，它可能会有前缀和后缀重叠，这并不满足条件，所以可以跳到 nxt[nxt[j]]，直到满足条件或判断无解为止。数量相等，即回文串长度为偶数，所以我们可以枚举对称中心，二分找最长回文子串长度，这个就是字符串哈希很经典的操作了。我们可以暴力枚举全部区间，然后开一个 map，将。，可能有点悬，再进一步优化一下。然后这道题就做完了，不过还是有些坑点，详见代码。的范围，不大也不小，