CSP-S复习：图论题选讲

summ1ts

已于 2024-10-09 16:13:59 修改

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分类专栏：一些讲解文章标签：算法 c++ 图论 CSP-S 最短路最小生成树拓扑排序

于 2024-10-07 18:15:04 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/summ1ts/article/details/142742284

今天跟着南外复习的图论，十道题，感觉质量不错，就拿出来总结一下。

一：P3659 [USACO17FEB] Why Did the Cow Cross the Road I G

题意：给你 $n * n$ 的方格，可以向上下左右移动，每走 $3$ 步要停留一段时间，从 $(1, 1)$ 走到 $(n, n)$ 的最短路。

首先很正常的思路就是先连边建图，然后暴力跑 dijkstra，不过这样会超时（至少我TLE了两个点）。接下来再想，走 $3$ 步才停留一段时间，那就直接按走 $3$ 步所到达的点来连边，然后再跑最短路就可以了。最后统计答案时要注意一下，可能从其他点走到 $(n, n)$ ，具体见代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
const int N=1e5+10;
int read(){
   
   
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
   
   
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
int n,T,a[N],dist[N],vis[N],head[N],tot;
int dx[16]={
   
   -1,-2,-3,-2,-1,0,1,2,3,2,1,0,-1,0,1,0};//走3步可能到达这些点
int dy[16]={
   
   -2,-1,0,1,2,3,2,1,0,-1,-2,-3,0,1,0,-1};
struct node{
   
   
	int to,nxt,w;
}edge[N*10];
void add(int x,int y,int w){
   
   
	edge[++tot].to=y;
	edge[tot].w=w;
	edge[tot].nxt=head[x];
	head[x]=tot;
}
int get(int x,int y){
   
   
	return (x-1)*n+y;
}
void dijkstra(int s){
   
   
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q;
	q.push(make_pair(0,s)),dist[s]=0;
	while(!q.empty()){
   
   
		int t=q.top().se;q.pop();
		if(vis[t]) continue;vis[t]=1;
		for(int i=head[t];i;i=edge[i].nxt){
   
   
			int y=edge[i].to;
			if(dist[y]>dist[t]+edge[i].w){
   
   
				dist[y]=dist[t]+edge[i].w;
				q.push(make_pair(dist[y],y));
			}
		}
	}
}
int main(){
   
   
	n=read(),T=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[get(i,j)]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
   
   
		for(int j=1;j<=n;j++){
   
   
			for(int k=0;k<16;k++){
   
   
				int nx=i+dx[k],ny=j+dy[k];
				if(nx<1||ny<1||nx>n||ny>n) continue;
				add(get(i,j),get(nx,ny),a[get(nx,ny)]+T*3);
			}
		}
	}
	dijkstra(1);//答案不一定是dist[n][n],我们没有默认一定恰好在（n,n）停留
	cout<<min(dist[get(n,n)],min(dist[get(n-1,n)]+T,min(dist[get(n,n-1)]+T,min(dist[get(n-2,n)]+2*T,min(dist[get(n-1,n-1)]+2*T,dist[get(n,n-2)]+2*T)))));
	return 0;
}

二：最短路输出路径

题意：一个完全图，多次询问，每次询问 $x - > y$ 的最短路径，如果有多条，则输出字典序最小的那一条路径。

这个题还是比较水的。数据范围很小，直接跑 floyd 就行。多开一个数组，记录从某点到另一个点的最短路下一步要到哪。注意一下这道题还有点权。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=210;
int n,m,a[N],g[N][N],dist[N][N];
int main(){
   
   
	cin>>n>>m;
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) cin>>dist[i][j],g[i][j]=j;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	for(int k=1;k<=n;k++){
   
   
		for(int i=1;i<=n;i++){
   
   
			for(int j=1;j<=n;j++){
   
   
				int dis=dist[i][k]+dist[k][j]+a[k];
				if(dist[i][j]>dis){
   
   
					dist[i][j]=dis;
					g[i][j]=g[i][k];
				}
				else if(dist[i][j]==dis&&g[i][j]>g[i][k]) g[i][j]=g[i][k];
			}
		}
	}
	while(m--){
   
   
		int x,y;cin>>x>>y;int k=x;
		printf("From %d to %d :\n",x,y);
		printf("Path: %d",x);
		while(x!=y){
   
   
			x=g[x][y];
			printf("-->%d",x);
		}
		printf("\n");
		printf("Total cost : ");
		cout<<dist[k][y]<<endl;
	}
	return 0;
}

三：P3556 [POI2013] MOR-Tales of seafaring

题意：给你 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，多次询问，每次询问从 $x$ 到 $y$ 是否有长度为 $d$ 的路径。

与某年CSP-J的题非常相似。设从 $x$ 到 $y$ 的最短路为 $d i s$ 。发现反复在一条边上走动，最后可以构造出一个路径长度集合 $S=\left \{ dis+2k_{}|_{}k\in N \right \}$ 。可是由于图中可能存在与 $d i s$ 奇偶性相反，也可以满足条件。这就启示我们分奇偶性来跑最短路，这道题就做完了。

由于询问很多， $n$ 并不是很大，所以还可以把询问离线下来，防止多次重复跑一个点的单源最短路。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
const int N=5005;
int read(){
   
   
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){
   
   if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) x=x