11、混合幂律图中的小世界现象

混合幂律图中的小世界现象

1. 存活边的性质与图直径分析

在图论研究中，存活边的性质对图的结构和直径有着重要影响。可以确定，所有存活边的端点之间的局部距离至多为 (k)。

我们来考虑存活边的期望数量。选取一个顶点 (u)，与 (u) 的局部距离至多为 (k) 的顶点最多有 (2Mk) 个。那么，满足 (d_L(u, v) \leq k) 的存活边 (uv) 的期望数量至多为 (2Mkm)。当 (m) 很大时，存活随机边的数量会紧密集中在其期望值附近。

对于任意固定的顶点 (u)，考察与 (u) 关联的存活边 (uv) 的数量。由于 (v) 几乎肯定与 (u) 的局部距离至多为 (k)，所以可能的 (v) 最多有 (2Mk) 个。存在至少 (\lceil\frac{l}{2}\rceil) 个 (v) 使得 (uv) 存活的概率至多为 (\binom{2Mk}{\lceil\frac{l}{2}\rceil}(m^2\rho)^{\lceil\frac{l}{2}\rceil}= o(\frac{1}{n}))。因此，几乎可以确定 (L’) 的度数至多为 (M + \lceil\frac{l}{2}\rceil - 1)。

设 (g(n)) 是一个关于 (n) 增长非常缓慢的函数，当 (n) 增加时趋近于无穷。对于任意给定的顶点 (u)，与 (u) 的局部距离为 (g(n)) 的顶点对最多有 (4M^2g(n)) 对。任意给定顶点 (u) 存在 (l) 条存活边且这些边的局部距离至多为 (g(n)) 的概率至多为 (\binom{4M^2g(n)}{l}(m^2\rho)^l = o(\frac{1}{n^2}))，这里 (g(n) = o(\log n^{\f