10、混合幂律图中的小世界现象

混合幂律图中的小世界现象

1. 引言

小世界现象在众多现有网络中普遍存在，它主要包含两个相似但不同的特性：小平均距离和聚类效应。1967 年，心理学家 Stanley Milgram 通过一系列实验提出了“六度分隔”的概念，即地球上任意两个陌生人之间最多通过六个中间人就能建立联系。此后，人们发现许多现实网络都具有小世界现象，表现为节点间距离小以及若两个节点有共同邻居则更可能相邻的聚类效应。

目前，有多种方法来建模具有小世界现象的网络。在分析小距离方面，利用广义随机图理论和幂律分布的性质取得了一定进展，但聚类效应的建模则困难得多。1999 年，多个研究小组发现互联网图、通话图和社交网络等众多网络都具有幂律分布，即度为 k 的节点数量与 k^(-β) 成正比（β 为正指数）。

为了建模聚类效应，常见的方法是在网格图等基础上添加随机边，但这些基于网格的模型存在局限性，无法很好地模拟网页图或生物网络等。随机幂律图在建模小距离方面表现良好，但在建模聚类效应方面却不尽如人意。

本文提出了一种通用的混合图模型，它结合了全局图（提供小距离的“长边”）和局部图（尊重局部连接的“短边”），以同时体现小世界现象的两个方面。该混合图具有以下性质：
1. 对于给定的幂 β，具有幂律度分布。
2. 平均距离与随机图处于同一数量级。
3. 直径与随机图处于同一数量级。
4. 局部高度连接。

我们还将给出一个简单的分解算法，用于识别真实网络中的局部图和全局图，以便分析真实网络的性质。

2. 预备知识

2.1 给定期望度序列的随机图

考虑一类具有给定期望度序列 w =