7、卡尔曼滤波场景与算法解析

卡尔曼滤波场景与算法解析

1. 卡尔曼滤波处理的场景

在实际应用中，我们常常需要对系统的状态变量进行估计。一种方法是通过测量值 (z(t)) 来评估状态变量 (x(t)) 的值。然而，大多数实际测量都会受到“测量不确定性”或“测量误差”的困扰。我们可以通过协方差矩阵 (R) 来对这种不确定性进行建模：
[R(t) = E{[z(t) - \mu_z(t)][z(t) - \mu_z(t)]^T}]
卡尔曼滤波过程假设 (z(t)) 也是一个具有高斯概率密度函数的向量。

1.1 单变量电路示例

考虑一个由 12 伏电池、几个电阻、一个齐纳二极管和一个电机组成的简单电路。在这个例子中，状态变量向量 (x(t)) 实际上是一个标量，因为只有一个状态变量 (x_1(t) = V_x(t))，所以 (x(t) = x_1(t))。
由于电路是固定的，且电池电压 (V_{BATT}) 的标称值是恒定的，模型预测状态变量将保持恒定值：
[x_1(t + 1) = x_1(t)]
因此，状态转移矩阵 (F(t) = [1] = 1)。

同时，我们认识到模型在预测下一个状态时存在不确定性，用协方差矩阵 (P(t)) 来表示。由于只有一个状态变量 (x_1(t))，(P(t)) 就是 (x_1(t)) 的方差：
[P(t) = \sigma_{x_1}^2]

在很多情况下，我们不施加控制输入，但会考虑外部噪声对系统状态演变的影响。如果外部噪声用均值为 0、方差为 (\sigma_u^2) 的高斯随机分布表示，那么状态预测方程为：
[x(t + 1) = x(t)]
预测的 (x