19、机器人雅可比矩阵的推导方法解析

机器人雅可比矩阵的推导方法解析

1. 雅可比矩阵概述

雅可比矩阵可以用任意维度的矩阵来定义（甚至是非方阵）。其行数表示机器人在任务空间中的自由度，列数则等于机器人关节变量的数量。在平面机器人（$n = 3$）中，雅可比矩阵可以用三行来表示。但对于冗余机械臂（驱动关节数量超过自由度数量），雅可比矩阵的列数可能会超过行数。

2. 雅可比矩阵推导方法

2.1 速度环闭合方法

速度环闭合方法是确定雅可比矩阵及其与机器人正向运动学关系的基本方法。该方法通过环闭合技术获得机器人的正向运动学，然后对其进行时间微分，得出机器人末端执行器的线速度和角速度与关节速度之间的关系。

以一个两自由度的 2R 机器人为例：
- 正向运动学方程：
- (x_e = a_1c_1 + a_2c_{12})
- (y_e = a_1s_1 + a_2s_{12})
其中，(c_1 = \cos\theta_1)，(s_1 = \sin\theta_1)，(c_{12} = \cos(\theta_1 + \theta_2))，(s_{12} = \sin(\theta_1 + \theta_2))。
- 对正向运动学方程进行时间微分，得到速度环闭合方程：
- (\dot{x} e = -a_1s_1\dot{\theta}_1 - a_2s {12}(\dot{\theta} 1 + \dot{\theta}_2))
- (\dot{y}_e = a_1c_1\dot{\theta}_1 + a_2c {12}(\dot{\theta} 1 +