codeforces memsql Start[c]UP 2.0 C. Magic Trick-优快云博客

博客探讨了codeforces memsql Start[c]UP 2.0比赛中问题C. Magic Trick的解决方案。题目涉及从多副牌中抽取一定数量的牌，并计算两次抽到相同牌的概率。博主给出了概率的数学表达式，但由于计算复杂性，在比赛中未能正确计算。比赛后，博主了解到可以通过取对数简化计算，并参考他人代码实现了对数组合数的计算方法。

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C. Magic Trick

题意：有m副相同的牌，每副牌有n张。你在这n*m张牌里面抽出n张。然后在抽出的n张牌中抽一张，放回去再抽一次，问两次抽到的牌相同的概率。

思路：首先写一下这个概率的表达式。假设你两次抽到一样的牌，是A，而在n*m抽n的时候，那n张牌里面有k张A。那这样的话，n*m张牌抽取n张，有k张是A的概率就是：

其中k最大为min(n,m)，因为k最多有m张，又不能超过抽的牌数n。再对k进行求和。

然后你两次从n张里面抽到A，概率为(n/k)^2。最后你抽到的A可以是任意一张牌，还要乘上n。最终公式为：

比赛的时候我推了一下公式（其实推错了），但是不会算。结束后惊闻可以取对数，又参考了一下别人的代码才过的。

取对数后，乘除变为加减，增长缓慢（废话），就可以算了。具体做法是，阶乘打表，打到1000^，然后写一个函数快速计算组合数的对数，具体见代码。

#include <iostream>  
#include <stdio.h>  
#include <cmath>  
#include <algorithm>  
#include <iomanip>  
#include <cstdlib>  
#include <string>  
#include <memory.h>  
#include <vector>  
#include <queue>  
#include <stack>  
#include <map>
#include <set>
#include <ctype.h>  
#define INF 1000000

double F[1000010];

using namespace std;

inline double Lfac(int n,int k){//组合数的对数
	return F[n]-F[k]-F[n-k];
}

int main(){
	//预处理阶乘打表
	F[1]=0;
	for(int i=2;i<=1000000;i++){
		F[i]=F[i-1]+log(i);
	}
	
	int n,m;
	while(cin>>n>>m){
		double ans=0;
		for(int k=1;k<=min(m,n);k++){
			double tmp=Lfac(m,k)+Lfac(n*m-m,n-k)-Lfac(n*m,n)+2*log(k)-log(n);
			ans+=exp(tmp);
		}
		printf("%.9lf\n",ans);
	}
	return 0;
}